教育均衡发展在八年级教学应用研究――论因式分解的常用解法.doc

1、1教育均衡发展在八年级教学应用研究论因式分解的常用解法摘 要：教育均衡发展要求每一个学生得到相对均衡的发展。在八年级教学中，依据本人多年的教学经验，并在参考了相关文献的基础上，本文给出了多项式在实数范围内的因式分解的常用方法，以求在八年级因式分解教学中让学生均衡发展。其中包括提公因式法，公式法，分组分解法，换元法，配方法，十字相乘法，求根公式法，拆法、添项法，待定系数法，取值法。供广大同仁参考借鉴，并提出指正。 关键词：二次三项式；多项式；因式分解 因式分解：即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一。因式分解的一般步骤：有公因式时先提公因式；

2、考虑能否直接应用公式； 考虑适当分组，使分组后有公因式可提（或适合公式）且组与组之间又有公因式； 对于二次三项式（指关于某个来说） ，还可考虑应用十字相乘法、配方法和求根公式法； 对于高次多项式，可考虑应用换元法、分组分解法、拆项或插项后的分组分解法； 2以上方法都难以奏效时，可考虑应用新（或广）十字相乘法，或待定系数法分解； 因为：数域 F 上的次数大于零的多项式 f（x） ，如果不计零次因式的差异，那么 f（x）可以唯一的分解为以下形式： f（x）=aP1k1（x）P2k2（x）Piki（x）*，其中 是 f（x）的最高次项的系数，P1（x） ，P2（x）Pi（x）是首 1 互不相等的不可

3、约多项式，并且 Pi（x） （I=1，2，t）是 f（x）的 Ki 重因式。 （*）或叫做多项式 f（x）的典型分解式。 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等 要求为：要分到不能再分为止。 一、提公因式法 如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。 众所周知，提公因式法是因式分解的最基本的，也是十分重要的一种方法。那么如何正确提取公因式分解因式呢？ （一）具体地说，首先应确定公因式。确定公因式的原则是： 1.各项系数都是整数应提取各项系数的最大公约数； 2.字母提取各项的相同的字母； 3.各字母的指数取次数最低

4、的，然后再提取公因式将多项式分解因式。 （二）其方法是： 31.当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用 1 补上，不能漏掉； 2.如果多项式按一定顺序列出后，首项为负时，一般要连同“-”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号； 3.有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，发现公因式还要及时提取； 4.如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换。 如（a-b）2=（b-a）2， （a-b）3=-（b-a）3； 5.因式分解的结果应将单项式写在前面，多项式写在后面，相同的因式写成乘方的形式。 把多项式 56a3b

5、c+14a2b2c-21ab2c2 分解因式。 分析：56、14、21 的最大公约数是 7，字母 a、b、c 最低指数均为1，所以多项式 56a3bc+14a2b2c-21ab2c2 的公因式是 7abc。 解：56a3bc+14a2b2c-21ab2c2=7abc（8a2+2ab-3bc） 。 例 2：把多项式 6x3y2+12x2y3-6x2y2 分解因式。 分析：6、12、6 的最大公约数是 6，字母 x、y 最低指数均为 2，所以多项式 6x3y2+12x2y3-6x2y2 的公因式是 6x2y2。 解：6x3y2+12x2y3-6x2y2=6x2y2（x+y-1） 二、公式法 即多项

6、式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公4式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=（a+b） （a-b） a22ab+b2=（ab）2 a3+b3=（a+b） （a2-ab+b2） a3-b3=（a-b） （a2+ab+b2） a33a2b+3ab2b2=（ab）3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2 a12+a22+an2+2a1a2+2an-1an=（a1+a2+an）2 a3+b3+c3-3abc=（a+b+c） （a2+b2+c2-ab-ac-bc） an+bn=（

7、a+b） （an-1b0-an-2b1+an-3b2-a1bn-2+a0bn-1） （n 为奇数） an-bn=（a-b） （an-1b0+an-2b1+an-3b2+a1bn-2+a0bn-1） （n 为正整数） 例 1：分解因式：（1）64x6-y12；（2）1+x+x2+x15 解析：各小题均可套用公式 解（1）64x6-y12=（8x3-y6） （8x3+y6） =（2x-y2） （4x2+2xy2+y4） （2x+y2） （4x2-2xy2+y4） （2）1+x+x2+x15 =（1+x） （1+x2） （1+x4） （1+x8） 注多项式分解时，先构造公式再分解。 三、分组分解法

8、当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解5的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。 例 1：分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解：原式=（x15+m12）+（m9+m6）+（m3+1） =m12（m3+1）+m6（m3+1）+（m3+1） =（m3+1） （m12+m6+1） =（m3+1）（m6+1）2-m6 =（m+1） （m2-m+1） （m6+1+m3） （m6+1-m3） 例 2：分解因式：x4+5x3+15x-9 解析：可根据系数特征进行分组 解：原式=（x4-9）+5x3+15x =（x2+3） （x2-3）+5x（x2+3） =（

9、x2+3） （x2+5x-3） 四、换元法 例 1：把 x4+6x2+8 分解因式。 分析：这个多项式不是关于 x 的二次三项式，如果把 x2 设为 y，那么这个多项式就可转化为 y2+6y+8，这是关于 y 的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了。这里，设 y=x2，把 y 称为辅助元，这种方法叫做换元法。 解：设 x2=y，则多项式变为 y2+6y+8， 把它分解因式，得 y2+6y+8=（y+2） （y+4）. 再把 y 换成 x2，得 6x4+6x2+8=（x2）2+6x2+8=（x2+2） （x2+4）. 指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如 x2+px+q

10、 的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略。 例 2：把（a+b）2-4（a+b）+3 分解因式。 分析：如果把（a+b）看作一个整体，这样原多项式可看成关于（a+b）的二次三项式，就可以进行因式分解了。 解（a+b）2-4（a+b）+3=（a+b-1） （a+b-3）. 指出：把（a+b）看作二次三项式 x2+px+q 中的字母 x 的方法称为“换元法” ，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用。 例 3：把（x2-3x+2） （x2-3x-4）-72 因式分解。 分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运用代换法，即

11、通过设辅助元，把原多项式转化为形如 x2+px+q 的二次三项式，就可以进行因式分解了。 解： 方法 1 把 x2-3x 看作一个整体。 原式=（x2-3x）+2（x2-3x）-4-72 =（x2-3x）2-2（x2-3x）-80 =（x2-3x-10） （x2-3x+8） =（x-5） （x+2） （x2-3x+8）. 方法 2：把 x2-3x+2 看作一个整体. 原式=（x2-3x+2）（x2-3x+2）-6-72 =（x2-3x+2）2-6（x2-3x+2）-72 7=（x2-3x+2）-12（x2-3x+2）+6 =（x2-3x-10） （x2-3x+8） =（x-5） （x+2） （

12、x2-3x+8）. 方法 3：把 x2-3x-4 看作一个整体。 原式=（x2-3x-4）+6（x2-3x-4）-72 =（x2-3x-4）2+6（x2-3x-4）-72 =（x2-3x-4+12） （x2-3x-4-6） =（x2-3x+8） （x2-3x-10） =（x2-3x+8） （x-5） （x+2）. 指出，通过例 3 可以看到，如果把二次三项式（x2-3x+2）与二次三项式（x2-3x-4）相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了。如果把其中的某些项看作一个整体（即把它看作一个新的辅助元） ，这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式

13、了。 例 4：把 x2-3xy+2y2 分解因式。 分析：多项式中的 x 和 y 的最高次项都是 2 次，中间项 x 与 y 的乘积项，次数也是 2 次，因此这个多项式既可以看作是关于 x 的二次三项式，也可以看作是关于 y 的二次三项式。这时，2y2 就相当于常数项，可以把它分解为-y 与-2y 的积，那么-y+（-2y）=-3y 恰好等于一次项 x 的系数。 解：x2-3xy+2y2=x2-3yx+2y2=（x-y） （x-2y）. 指出：由例 4 可以看到，当二次三项式 x2+px+q 中的 p 和 q 是一个8单项式时，如果 q 可以分觖成两个因式之积，而这两个因式之和正好等于一次项系

14、数 p 时，这样的二次三项式就可以分解因式。 五、配方法 将一个式子（或其中一部分项）配成完全平方式（或完全立方式）的变形，称为配方法。 例 1：分解因式 （1）25x4+9x2y2+y4；（2） x3-6x2+12x-9 解：（1）原式=（5x2）2+25x2y2+y4-x2y2 =（5x2+y2）2-（ xy）2 =（5x2+y2+xy） （5x2+y2-xy） （2）原式= x3-6x2+12x-8-1 =（x-2）3-1 =（x-3） （ x2-3x+3） 六、十字相乘法 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。 十字相乘法原理 X2+（p+q）x+pq=（x+

15、p） （x+q） Kx2+mx+n=（ax+b） （cx+d） a b c d ac=k bd=n 9ad+cb=m 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2 的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2 的积 c1?c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是 1 时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）所谓十字相乘法，就是运用乘法公式（x+

16、a） （x+b）= x2+（a+b）x+ab 的逆运算来进行因式分解。比如说：把 x2+7x+12 进行因式分解。 上式的常数 12 可以分解为 34，而 3+4 又恰好等于一次项的系数7，所以 上式可以分解为： x2+7x+12=（x+3） （x+4） 又如：分解因式： a2+2a-15，上式的常数-15 可以分解为 5（-3）.而 5+（-3）又恰好等于一次项系数 2，所以 a2+2a-15=（a+5） （a-3）. 单十字相乘法 对于形如 ax2+bx+c 结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法， 即 x2+（b+c）x+bc=（x+b） （x+c）当 x2 项系数不为 1 时，同样也

17、可用十字相乘进行操作。 例 1：分解因式： （1）x2-x-6；（2）6x2-x-12 解： 10（1）1x+2 1x-3 原式=（x+2） （x-3） （2）2x-3 3x+4 原式=（2x-3） （3x+4） 注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。 （二）双十字相乘法。 在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为： （1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图。 （2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含 y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含 x 的一次项。例 1：分解因式 （1）4x2-4xy-3y2-4x+10y-3 （2）x2-3xy-10y2+x+9y-2 （3）ab+b2+a-b-2；（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解：