第一部分 练习与思考题.doc

1、第一部分 练习与思考题第1章 建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源数学模型第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源数学模型第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其 的 子在一 。问怎样过河？1

2、. 如 . ，问如 要 2 1 1 ， 么在1 应在 多 ？而 2 的 多 ？1.6 的 模型 261025 1251 NNdtdN ，如 不考 的人的currency1“fifl 。设 1 人数 人，试 在的人数。当t 时 什么情况。1.7 设人长从”样时 t的人 )(tx ，人 mx ，t tt 时人数与 )(txxm 。试建立模型 ， 的 形与数长模型和长模型的结 。1. 一 有多 时 长 一 时？如何 ” 时？1. 在 下，如 需要的时， 问 需要有 ？如 不 ， 需要 下 ？1.1 的一 的塔， 的降雨和 的河。 的可“通过河床的渗透和面的蒸 失。如 要 建立一 数学模型预测任何时

3、塔的位， 需要 ？第2章 初模型53 54 2.1 学校共1 名学，23 人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学们要组织一 1 人的委员会，试下列办法分配各宿舍的委员数（1）按例分配取整数的名额 ,剩下的名额按惯例分给小数部分 者.（2）2.1节中的Q值方法.（3）dH nd方法 将各宿舍的人数整数 ,2,1n,3 相除，其商数如下 1 2 3 4 ABC23 117. 7.3 .7 333 166. 111 3.2 432 216 144 1 6.4将所得商数从 小取前1 (1 席位数),在数字下标“横线， 中A，B，C 有横线的数分别 2，3， ，”就是3宿舍分配席位.

4、能 释”种方法的理吗。如 委员会从1 人至1 人，“ 3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结 列 .（4） 能提其 的方法吗. 的方法分配 面的名额.2.2 在超 购物时 注意 包装商品小包装商品便宜”种 象了吗.如洁 牙膏 克装的每支1. ,12 克装的每支3. ,二者单位的重的价格是1.2:1,试例方法构造模型 释” 现象.（1）分析商品的价格C与商品重W的关系.价格产 、包装 和其它 决定，” 中有的与重W，有的与 面 ，还有与W无关的因素。(2)给单位重价格C与W的关系。画它的简 ，说明W越 C越小，但是随着W的加C减小的程度变小。 释实际意义是什么。2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者

5、将钓 的鱼放，打 按 放的鱼的重给 励，俱乐部 了一 与测， 设 按 测的长度 鱼的重的方法。设鱼 中 有一种 鱼， 得 了条鱼的如下数 （ 鱼 的 长） 理分析建立模型，再数 定 数。2.4 的 形 加 一定的 ，给种简便、有 的列方法加 可能多的 。2. 雨下降，currency1与雨 面 和度“方的 ，试 定雨与雨的关系。2.6物学 ，对fifl 的物 的能要fi”，能与从 全 的，而”要通过 面失，建立一 物重与 关系的模型，下面的数 加“ 。53 54 物 重（g） （次分）小狗2 67 2 42 2 2 12 长() 36. 31. 43. 36. 32.1 4 .1 3 . 32

6、.1重() 76 42 1162 737 42 13 6 2 4 4() 24. 21.3 27. 24. 21.6 31. 22. 21.62.7 重按 员的重分组, 能在一 理、简的设下建立与重 的关系吗。下面是一 会的，可 的模型。2. 度 v的在 面 s 的 ，currency1 度是。 分析方法 定 得的 P与v，s，的关系。2. 雨的度v与currency1 度、 系数和重加度g有关，其中 系数的定义是物在中 的 与度 度和 面 的 ，例系数 系数。 分析方法给度v的 。2.1 子 时 的能从 “ 形 四。 分析在时 t 的r与释放能e， currency1度， currency1

7、 p有关（设 0t 时 0r ）。 分析方法明， 3265512 etpetr ，是定 数。2.11 分析方法 人 在的 时 失的。的v， 度，c， 系数， 系数k，人 d。 明人与的 系数h与 各物理的关系可 kcdvdkh , ，是定 数，h定义 单位时人的单位面 在人与的” C1 时的 。2.12 在小说格 中,小说 中的人们决定给格 相当与一 小人 172 的 物. 们是”样推理的,因格 高是小人的12 . 的格是小人的 17212 3 .所“ 需要的 物是一 小人的 的172 . 什么 们的推理是错误的? 的答案是什么? 2.13 战 Olyp 会女子铅球录如下:是否可“从” 数 中

8、预测2000 的会女子铅球的佳.第3章 简单的优模型3.1 在 贮模型的费中加购买货物 的费。重新定优订货 期和订货批。 明在不缺货模型中结 与的一样。而在缺货模型中优订货 期和定货批都53 54 狗羊人马3 7 7 724 3组别 重 抓 挺 （kg） （kg） （kg） （kg）1234671 4 132. 1 27. 137. 17 3 7. 64 147. 17. 33 7 162. 1 3 7. 76 167. 2 367. 3 1 212. 3 2. 1 17. 213 4 2. 1 23 42 1 1 23 43 1 1 7. 26 4 7. 份 1 4 1 2 1 6 1 6

9、1 64 1 6 1 72 1 76 1 1 4距离(米)13.7 1 .2 16. 17.32 1.14 1 .61 21. 3 21.16 22.41 23. 7结 减 。3.2 建立不缺货的产销售 贮模型。设产 fi数k，销售 fi数r， rk 在每 产 期T，开始的一段时 )0( 0Tt 一边产一边销售， 的一段时(tT 0 T ) 销售不产，画贮 )(tq 的 形。设每次产费 1c ，单位时每件产品贮 费 2c ，“费小 目标 定优产 期。讨论 rk 和 rk 的情况。3.3 在3.3节森林救火模型中，如 考防队员的灭火度与开始救火时的火势b有关，试设一 理的 数关系，重新 模型。3

10、.4 在雨中从一 沿直线跑另一 ，若雨 fi数 方不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨越 。将人简一 长方，高 m5.1a （颈部“下），宽 m5.0b厚 m2.0c ，设跑步距离 m1000d ，跑步 度s/m5mv ，雨 s/m4u ，降雨 h/cm2w ，跑步度 v。按“下步骤 讨论（1）不考雨的方 ，设降雨淋遍全 ，“ 度跑步，跑完全程的淋雨。（2）雨从 面，雨线与跑步方 在同一“面，与人的夹角 ，如 1，建立淋雨与度v 数a，b，c，d，u，w， 的关系，问度v多 ，淋雨 。 0 ， 30 时的淋雨。（3）雨从背 ，雨线方 与跑步方 在同一“面，与人的夹角 ，如 2。建立淋雨与

11、度v 数a，b，c，d，u，w， 的关系，问度v多 ，淋雨 。 30 时淋雨。（4）“淋雨 纵轴，度v 横轴，对(3) （考的currency1）， 释结 的实际意义。（ ）若雨线方 与跑步方 不在同一“面，模型会有什么变。1 23. 甲乙两公司通过广告争销售商品的数，广告费分别是x和y。设甲乙公司商品的售在两公司售中占的份额，是它们的广告费在广告中所占份的 数 )( yxxf 和 )( yxyf 。又设公司的收 与售，从收 中扣除广告费即 公司的润。试构造模型的 形，讨论甲公司怎样 定广告费才能润 。（1）令 yxxt ， 1)1()( tftf 。画 )(tf 的 意 。53 54 病房手

12、术室床（2）写甲公司 润的 )(xp 。对fi一定的y，)(xp 的x的优值应满足什么关系。 法 定” 优值。3.6 人 走时的 是抬高人重所需势能与两腿所需能 和。试建立模型讨论在 小的 下每秒走步适（ 走）。（1）设腿长l，步长s， 明人重在 走时升高)(82 lsls （2）将腿看均直杆， 走看腿绕腰部的转。设腿的m， 走度v， 明单位时所需能 smv 62 。（3）设人M， 明在度v一定时每秒 走 nmlMg43 步 小。实际 ， mlmM 1,4 分析” 结 理吗。 （4）将（2）的设修改 腿的集中在脚部， 走看脚的直线。 明结 应 mlMgn 4 步。分析” 结 理。3.7 驶fi

13、河中的渡轮，它的 驶方 要 的currency1。船在河的位置不同，所 的currency1也不同。试设 一条渡轮 对岸时 的航线。3. 站的设 者们在堰坝 安装轮 ，当潮通过堰坝时，推轮 转，从而带 。潮通过轮 的瞬时度可操者控制，么，要产 能，应如何控制潮的瞬时度？3. 了保 病人“躺在长宽分别 p，q的病床从病房 手术室（如 所 ），两条垂直的通至应宽多 ？3.1 观察鱼在中的 现，它不是“ ，而是突、锯齿 地 和 下滑 。可“ ”是在长期过程中鱼类选 的 能小的方 。（1）设鱼是“fiv，鱼在中 重w， 下滑 时的是w在方 的分 时所需的是w在方 分与 所 和，而 的是滑 的k ，“方

14、 时也是滑 的k ，写” 。（2） 明当鱼要从A fi同一“线 的B时（见下 ），沿 线ACB 的能与沿“线AB的能 （ 下滑 不 能） )sin( sinsin kk 。（3） 实际观察2.0tan ，试对不同的k值（1. ，2，3）， 能小的 佳的值。第4章 数学划模型53 54 4.1 n种 配 鸡， 了 鸡长得快，对m种 分有一 标 。即对 mi ,1 ，要 第种i 分在 中的 不 fi ib，若每单位第j种 中 第i种 分的 ija ，第j种 的单价 jc ，问应如何配制 才能 ？4.2 分配甲、乙、 、 四人 四 ，每人 一 。 们 各需 数见 ，问应如何分配才能 数 。4.3 校

15、 预选A，B，C，D四名学，将 们加地 各学校 的。 次的四 考试在同一时 ，因而每人 能 加一 ，结 将“ 分 名次（不 人名次）。设下 是四名学选 时的，问应如何组队 ？4.4 产两种标 件，A种每 可 .3 ，B种每 可 .1 。若 产一种标 件，每 可A种标 件 B种标 件12 ，但A种标 件还需 种 理，每 多 理6 ，A，B标 件多每 包装1 。问 应如何安产 划，才能每 。4. 将长度 cm的线 长度 7cm的 至 1 ， cm的 至 2 ，若 分多，在完任的前提下，应如何，得currency1下的 ？4.6 有 甲、乙，产四种产品A，B，C，“，各 数如下 （1） 收 的产方案

16、 （2）当优产方案不变时，分别 A，B，C，“的单价的变 （3）当优不变时，分别 甲、乙的变 。4.7 产A，B两种产品，分别四 床加 ，加 fifl任意，在一 产期，各 床的有 时数，各产品在各 床的加 时数 数如下 53 54 人1 2 3 4甲乙1 7 7 74 6 2 3 4 程学数学 物理 学 外 ABCD 37 1 77343 7 7单位 产品A B C D 额（公）甲乙3 2 1 42 . 13单价（ /件） 1 加 时数床产品甲 乙 单 价（ /件）AB2 1 4 2 2 123有 时数 24 2 1 14 （1） 收 的产方案 （2）若 新产品C，每件在 床甲，乙， ， 的加

17、 时分别是3，2，4，3小时，问C的单价多 时才宜产？当C的单价 4 时， C产 的产方案。（3） 提高产品，加 床的加 fl，其 数如下。问应如何安产。4. 产有关 数单位 产品A B C D E 额（公）甲乙.1 .2 .3 .1.2 .2 .1 .3.3 .2 .16 3 单价（ ） 4 3 6 （1） 优产方案 （2） 情况， 划A至 产 件， 相应产方案 （3）因销， 划”产， 相应产方案 （4） 情况，定C不超过164 件， 相应产方案 （ ）若定 甲需剩至 公， 相应产方案 （6）若定产A至 1 件，产B至 2 件， 相应产方案。4. 要从宽度分别 3m和 m的 1B型和 2B

18、型两种标 中，沿着长的方 宽度分别 1. m，2.1m和2.7m 的 1A型、 2A 型和 3A 型种3 m，1 m 和6 m。问如何 才能 费的标 的面 。4.1 理 划一 有价 的，可购的 “其 、 期 、收如下 所 。按 定， 的收可“，其 的收需按 的 。 外还有“下制（1） 办 构的 共至 要购4 （2）所购 的“均 不超过1.4（ 数字越小， 程度越高） （3）所购 的“均 期 不超过 。名 种类 期 期前收（ ）A 2 4.3B 办 构 2 1 .4C 1 4 . D 1 3 4.4E 2 4. 53 54 产品 A B 有 时数加 时 2 2.4 24试 答下列问题（1）若 理

19、有1 ，应如何？（2）如 能“2.7 的 不超过1 ， 理应如何操？（3）在1 情况下，若 A的前收加 4. ，应否改变？若 C的前收减 4. ，应否改变？4.11 所每 的 时是 下 。，每 不同时段所需要的员数如下时 段（时）员数 4 3 4 6 6 所可“ 全时和时两类员。全时员每 1 ，从 下 ，但中 12 下 2 安1小时的 时。 所每 可“ 不超过3名的时员，每 时员 连 4小时， 4 。问 所应如何 全时和时两类员？如 不能 时员，每 至 加多 费？如 时员的数 有制，每 可“减 多 费？4.12 一保 公司 提 保 。 ，下一 的需 是 6 人 ，7 人 ， 人 ， 人 。公司

20、新 的保 过 的才能 ，每 保 每度 （新保 包）6 。保 从公司而不是从 得 ，每人每 。 开始时公司 有12 名保 ，在每 度结 ，将有1 的保 离 。（1）如 公司不 保 ， 公司制定下一 的划 度需 的加不currency1 划？可“加多 ？（2）如 公司在每 度结 保 ， 公司制定下一 的 划。4.13 公司将4种不同 的 （分别 甲、乙、 ） 产两种产品（分别 A、B）。按 产 的要， 甲、乙、 中 ， 的再分别与 产A、B。 甲、乙、 、 的 分别是3，1，2，1（ ），货价格分别 6，16，1 ，1 （ ） 产品A、B的 分别不能超过2. ，1. （ ），售价分别 ，1 （ ）

21、。 ， 甲、乙、 的 应有制， 的 应多 ，产品A，B的 需 分别 1 、2 。问应如何安产？4.14. 售商从 货，将按 的要 售。从 货时得 的 长度都是1 mm。现有一 需要1 2 mm、2 31 mm、21 3 mm和3 4 mm的。 了简产过程，定所的 模 的种类不能超过4种， 高的一种 模 按 一 价值的11 加费， 次 的 模 按 一 价值的21 加费， 类推， 每种 模 下的 次数不能 多（一 多产 产品）。 外，了减 浪费，每种 模 下的 浪费不能超过1 mm。 了费小，应如何下 ？4.1 公司 两座 站， 站分别位fi两 ，位置如下 所 。53 54 910 1011 11

22、12 121 12 23 34 45源A源B A 站A B 站B 站A可“将 A的1 3m 的转 4 度能， 站B 能将 B的1 3m 的转 2 度 能。 站A，B每 的 能分别是6 度，3 度，每 多有 度 能“2 度的价格售，多的 能 能“14 度的价格售。 A，B的其 有关数 如下（单位立方米） A B 2 1 源 2 4 下 13 1 小 12 目前 1 公司制定 和下 的产 划。（ 度是 际单位制单位，1 度1 3 瓦时）4.16 有4名同学 一公司 加 阶段的面试公司要每 同学都 找公司秘书初试，然 部 复试， 理 加面试， 不插队（即任何一 阶段4名同学的fifl是一样的）。fi

23、4名同学的 背景不同，所“每人在 阶段的面试时也不同，如下 所 （单位分钟） 秘书初试 复试 理面试同学甲 13 1 2 同学乙 1 2 1同学 2 16 1 同学 1 1 ”4名同学约定 们全部面试完“ 一 离开公司。定现在时是早晨: ，问 们早何时能离开公司？4.17 产两种产品、，分两班产，每 产时 小时，两种产品的预测销售、产 和盈 如下 。制定一 理的产方案，要 次满足下列目标（1）分 现有能，避设 闲置 （2） 加班时制在1 小时“ （3）两种产品 产应满足预测销售，满足程度的权重 fi它们单位 润 （4）减 加班时。53 54 产品 预测销售（件 ） 产 （件小时） 单位 润（

24、件）AB74. 1 1 .1 .3第5章 微分方程模型.1 人每 饮 取1 467焦，其中 3焦fi新陈 谢， 外每公重需支付6 焦 ，其 转 脂肪， “脂肪形 贮 的 1 ，每公脂肪 416焦，问 人的重如何随时而变？.2 活在阿拉斯加海滨的鲑鱼从Malhu 长模型)(003.0)( tpdttdp 其中t“分钟 。在 0t 时一群鲨鱼 域定 ，开始捕 鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的 是 )(001.0 2 tp ，其中 )(tp 是t时 鲑鱼数。 外，fi在它们 现意外情况，“均每分钟有. 2条鲑鱼离开 域。（1）考 两种因素，试修Malhu 模型。（2）设在 0t 是 在1 条鲑鱼，试 鲑鱼数)(

25、tp ，问 t 时会 什么情况？.3 罗瑟福的放射 衰变定，放射 物衰变的度与现 的放射 物的 子数，例系数 衰变系数，试建立放射 物衰变的数学模型。若 放射 物 时21T 放射物的 子下降至 的一（ 21T 物的衰期）试决定其衰变系数。.4 具有放射 的 14C 测古物 的 理是宇宙线轰 currency1 产中子，中子与氮结 产 14C 。植物吸收二氧碳时吸收了 14C ，物 植物从植物中得 14C 。在活组织中14C 的吸收 恰 与 14C 的衰变 “衡。但一旦植物fl ，它就”止吸收 14C ，fi是 14C 的浓度随衰变而降 。fi宇宙线轰 currency1 的度可视 fi数，既物刚fl 时 14C 的衰变 与现在取的活组织样 （刚fl ）的衰变 是相同的。若测得古物标 现在 14C 的衰变 ，fi 14C 的衰变系数 ，即可决定古物的fl 时。试建立 14C 测古物 的模型（14C 的衰期 6 ）。. 试 题建立的数学模型， 定下古迹的 （1）1 从法 a aux古洞中取的碳测得放射 数 . 7 数（ ming ），而活树木样 测得的 数 6.6 数（ ming ），试 定洞中绘画的 （2）1 从 古巴伦 的屋梁中取得碳标 测得 数 4. 数（ ming ），活数标 6.6 数（ ming），试 建筑的 。53 54