1、自回归模型在建筑物位移监测中的应用研究摘要 针对建筑物位移数据具有时序性变化的特点，介绍了自回归模型的建模原理及其实现过程，结合某城市建筑物位移监测数据进行了实例分析，结果表明该模型在建筑物位移监测数据处理中具有较高的拟合精度和预测能力，在短周期预测中可以得到较好的预报结果。 关键词 建筑物位移监测；自回归模型；时间序列；预报分析 中图分类号：G267 文献标识码：A 文章编号： 1 引言 随着现代社会城市化步伐的不断加快，城市中大中型高层建筑物不断涌现，外界环境对建筑物的地基增加了一定的荷载，造成地基的变形，影响到建筑物的安全使用；与此同时，伴随测绘科学和技术的不断进步，可用于建筑物位移监测
2、数据处理的数学模型逐渐增多，如曲线拟合模型、灰色预测模型、神经网络模型等方法，但这些模型在建立时设定的函数关系式具有很强的理论性，需要先以特定的假设为前提，使用时具有一定的局限性。 建筑物位移监测的变化量随时间不断变化，位移变化数据的时间序列从其特征来看是一系列随时间变化而又相关联的动态数据序列，通过对数据进行分析，找出反映位移变化随时间变化的规律，从而对数据的变化趋势做出正确的分析和预报，因此，本文采用时间序列方法中的自回归模型对建筑物位移监测数据进行预报分析处理，并验证其在建筑物位移监测数据处理中的可行性与实用性。 2 自回归模型 自回归拟合模型是依据已知样本值，通过一系列的分析步骤对AR
3、（）模型做出估计，利用包括现在和以前的所有监测资料，对未来时刻的可能值进行预报分析。 2.1 数学形式 假设是一个平稳数据序列，已有的测量观测值为，未来时刻的变化量为，将其预测值记为，即从 t 时刻开始向前步进行预测。根据最小二乘原理，有： (1) 即，使预测误差的方差最小，则称为的最佳估值。 设是白噪声，实数使多项式的零点都在圆外，即： (2) 则称阶差分方程 (3) 为阶自回归模型，简记为 AR()模型，其中是一个平稳时间序列的子样观测值，是序列自某一时刻 t 的前 P 个时刻的子样观测值。 根据自相关函数的估值，求出自相关函数的估值，然后将其带入自相关函数和偏相关函数的关系式： (4)
4、根据式 4 可求得偏相关函数的估值，考虑到偏相关函数一般可近似认为服从正态分布，且落在上的概率为 955，据此可确定自回归模型的阶数，即：若之后所有的都小于，则取为模型的阶。 2.2 模型参数求解 设对时间序列有样本观测值， ， ， ，根据自回归模型原理，可以写出以下方程式： (5) 令：,， 则由最小二乘法可得： (6) 将式(6)求出的系数代入式（3） ，即可得到自回归 AR()模型预测方程。2.3 模型精度评定和预测 自回归模型精度（即模型拟合程度）评定的方法采用后验差法，模型精度的好坏由后验差比值和小误差概率共同描述。 在模型精度检验合格后，由建立的自回归模型递推公式： (7) 代入前
5、项已知监测数据观测值，即可得到 AR（p）预测模型第期预测值。 3 实例分析 根据以上自回归模型建模原理，利用对某建筑物一个位移监测点监测获取的 23 期监测数据（见表 1，其中前 20 期数据用于建模，后 3 期监测数据（第 21、22、23 期）用于监测模型预测效果评价）进行建模分析，得到自回归模型方程如式（8） 、 （9） 、 （10）所示： (8) (9) (10) 利用式（8） 、 （9） 、 （10）建立的模型方程，对用于建模的 11 期到 20期数据进行拟合，具体结果如表 2 所示。 （为观测周期， 、 、为三个方向的观测值， 、 、对应观测值的预测值） 表 1 建筑物位移监测数
6、据 根据表 1 中位移变化量拟合的情况，对自回归模型拟合结果进行分析：观测值与拟合值的差别都在小数点后四位，模型内符合精度很高，其中方向位移拟合模型残差平方和为，中误差为；方向位移拟合模型残差平方和为，中误差为；方向位移拟合模型残差平方和为，中误差为，模型精度经检验都为 1 级（好） ，能够满足建筑物位移监测精度要求。 根据建立的自回归模型预测后三期的位移变化量，如表 4 所示。 （为观测周期， 、 、为三个方向的观测值， 、 、对应观测值的预测值） 表 2 位移观测值与模型预测值 根据建立的自回归模型，对建筑物位移监测 X 方向位移变化量的拟合预测效果如图 1 X 方向拟合预测效果图所示。
7、图 1 X 方向拟合预测效果图 Y 方向位移变化量的拟合预测效果如图 2 Y 方向拟合预测效果图所示。图 2 Y 方向拟合预测效果图 Z 方向位移变化量的拟合预测效果如图 3 Z 方向拟合预测效果图所示。图 3 Z 方向拟合预测效果图 由表 2 中所列出的未来三期（21 期、22 期、23 期）预测值，根据位移残差公式：，可计算第 21 期位移变化量为 10.454mm，预测残差为0.044mm，误差比为 0.42%；第 22 期位移变化量为 10.769mm，预测残差为 0.115mm，误差比为 1.06%；第 23 期位移变化量为 11.073，预测残差为 0.256mm，误差比为 2.3
8、1%。 4 结论 通过对建筑物位移监测数据处理方法的研究，介绍了时间序列中的自回归模型在建筑物位移监测数据处理中具体的建模和实现过程，并结合具体位移监测数据进行了实例分析。结果表明，自回归预测模型在建筑物位移监测数据处理中具备较高的拟合和预测精度，在短周期预测分析中可以得到较好的预报结果。 参考文献： 黄声享,尹晖,蒋征.变形监测数据处理M.武汉:武汉大学出版社.2010. 王佳璆.时空序列数据分析建模D.广州:中山大学硕士学位论文,2008. 王正明,易东云.测量数据建模与参数估计M.北京:国防科技大学出版社,1996. 兰孝奇,杨永平,黄庆等.建筑物沉降的时间序列分析与预报J.河海大学学报（自然科学版）,2006(4). 潘国荣.基于时间序列分析的动态变形预测模型研究J.武汉大学学报(信息科学版),2005,30(6):483-487
