全国高中数学联赛级预赛模拟试题.DOC

1、智浪教育-普惠英才文库全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第卷（选择题 共 60 分）参考公式1三角函数的积化和差公式sincos= sin(+)+sin(-),21cossin= sin(+)-sin(-),coscos= cos(+)+cos(-),sinsin= cos(+)-cos(-).212球的体积公式V 球 = R 3（R 为球的半径） 。4一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1设在 xOy 平面上，00，且 a2008+b2008=a2006+b2006。则 a2+b2的最大值是A1 B2 C2006 D20088如图 1 所示，设 P 为 ABC 所在平面内一点，并且 AP

2、= AB+ AC。则 ABP 的面积与51ABC 的面积之比等于A B C D525329已知 a,b,c,d 是偶数，且 00，向量 m=(0,a),n=(1,0)，经过定点 A(0,-a)以 m+n 为方向向量的直互与经过定点 B(0,a)以 n+2+m 为方向向量的直线相交于点 P，其中，R。则点 P 的轨迹方程为_.三、解答题（共 74 分）17.（12 分）甲乙两位同学各有 5 张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正智浪教育-普惠英才文库面朝上时，甲赢得乙一张卡片；否则，乙赢得甲一张卡片，规定投掷硬币的次数达 9 次或在此之前某人已赢得所有卡片时，游戏终止。设 表示游戏终止

3、时掷硬币的次数。求 取各值时的概率。18.（12 分）设A，B，C 是 ABC 的三个内角。若向量，且 mn= .2cos,85,2cos),s(1 BAnBAm 89(1)求证：tanAtanB= ；91(2)求 的最大值。22sincbaC19. （12 分）如图 2，ABC 的内切圆I 分别切 BC，CA 于点 D，E，直线 BI 交 DE 于点G。求证：AG BG.20 （12 分）设 f(x)是定义在 R 上的以 2 为周期的函数，且是偶函数，在区间2，3上，f(x)=-2(x-3)2+4。矩形 ABCD 的两个顶点 A，B 在 x 轴上，C，D 在函数 y=f(x)(0x2)的图象

4、上。求矩形 ABCI 面积的最大值。21.（12 分）如图 3 所示，已知椭圆长轴端点 A，B，弦 EF 与 AB 交于点 D，O 为椭圆中心，且|OD|=1，2DE+DF=0， 。4FDO（1）求椭圆长轴长的取值范围；（2）若 D 为椭圆的焦点，求椭圆的方程。22 （14 分）已知数列x n中，x 1=a, an+1= .2nx（1）设 a=tan ，若 ，求 的取值范围；20543（2）定义在（-1，1）内的函数 f(x)，对任意 x,y(-1,1)，有 f(x)-f(y)= ，xyf1若 ，试求数列f(x n)的通项公式。)(af答案：第卷1B MNd xOy 平面上的图形关于 x 轴对

5、称，由此，MN 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以 2 即可。由题意知 MN 的图形在第一象限的面积为 .61322C 过点 D 作 DF CB，过点 A 作 AE BC，联结 CE，ED，AF，BF ，将棱锥补成棱柱。/故所求棱锥面积为 CECDsinECDh=213.213C 符合要求的取球情况共有四种：智浪教育-普惠英才文库红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄。故不同的取法数为 .102531531235213 CC4A 左边=sinAcosA+sinAcosB+sinBcosA+sinBcosB= (sin2A+sin2B)+sin(A+B)21=sin(A+B)co

6、s(A-B)+sin(A+B),右边=2sin(A+B).所以，已知等式可变形为 sin(A+B)cos(A-B)-1=0.又因为 sin(A+B)0，所以 cos(A-B)=1.故A=B。另一方面，A=B=30 0，C=120 0也符合已知条件。所以，ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形。5A 设 g(x)的各项系数和为 s，则f(g(1)=3s2-s+4=188. 解得 s=8 或 （舍去） 。3s6B 22221)(1 abxaxbxa 21bx.)(12bax当 时，取得最小值(a+b) 2.7B 因为 a2008+b2008a 2006b2+b2006a2,又(a 2006+b

7、2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a22(a 2008+b2008),且 a2008+b2008=a2006+b2006,所以 a2+b22.8C 如图 4 所示，延长 AP 到 E，使得 AP= AE。51联结 BE，作 ED/BA 交 AC 延长线于点 D。由 ，得 AC=CD。故四边形ACBP2ABED 是平行四边形。所以 .51ABEPS又 ，则241ABEDABC .52ABCPS9D 设 a,b,c,d 分别为 b-m,b,b+m, .)(2bm智浪教育-普惠英才文库又 ，则 90)()(2mb.)30(2mb因 a,b,c,d 为偶数，且

8、 01，故 10（因(a +b 1）22222智浪教育-普惠英才文库由韦达定理知 y.2,21211 baybay 消去 y1 得 ，即 00，故所有 xn0.又 ，所以 xn(0,12nn因为 x32.2又 x2(0,1，则 02007, 0pq2007，(p,q)=1 ，则形如 的所有分数的和为pq_.A B C D12076208725已知 A，B，C 为 ABC 的三个内角，记 y=sin3A+sin3B+sin3C，则 y 的取值范围是_。A0，2 B C-2，2 D23, 23,06对任意一组非负实数 a1,a2,an，规定 a1=an+1，若有 nkkkaa121恒成立，则实数 的最大值为_.nia1A0 B. C1 D22二、填空题（每题 9 分）7四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，腰 DA 垂直于底边 AB，PD 是棱锥的高，PD=AD=AB=2CD=1，则二面角 APBC 大小为_。8数列a n满足 a1=1, a2=2, an+1=(n-1)(an+an-1)n2，则a n的通项公式为an=_。9满足条件：对任意 xR,都有 f(f(x)=x 且 f(f(x)+1)=1-x 的函数 f(x)有_个。