1、 Born to win 2018 考研数学冲刺模拟卷（数学一） 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 答题纸 指定位置上 . （ 1）若函数 21 c o s ,0(),0x xfx axbx 在 0x 处连续，则（ ） (A) 14ab (B) 12ab (C) 0ab (D) 2ab （ 2）设函数 ()fx可导，且 2 ( ) ( ) 0f x f x ，则（ ） （ A） (1) ( 1)ff （ B） (1) ( 1)ff （ C） (1) ( 1)ff （ D） (1) ( 1)ff
2、（ 3） 设 函数 22( , , )f x y z x y z，单位向量 11,2,23n ，则(1,2,0)fn _. （ A） 12 （ B） 6 （ C） 4 （ D） 2 （ 4） 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线 1()v v t （单位： /ms），虚线表示乙的速度曲线 2()v v t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为 0t （单位： s），则（ ） 0510152030()ts( / )v m s20325（ A） 0 10t （ B） 015 20t （ C） 0 25t （
3、D ）0 25t （ 5）设 A 为 mn 阶矩阵，且 ( )r A m n= = （ A） ( ) ( ) 1 XYF x F y- （ B） ( ) ( )11XYF x F y轾轾-臌臌（ C） ( ) ( ) ( )2,XYF x F y F x y- - + （ D） ( ) ( ) ( ) 1 ,XYF x F y F x y- - + （ 8）设总体 X 服从正态分布 2(0, )N ， 1X ， nX 是取 自总体 X 的简单随机样本，其均值、方差分别为 X ， 2S 则 （ A） )11(22 nFSX ， （ B） )11()1( 22 nFS Xn ， （ C） )11(
4、22 nFSXn ， （ D） )11()1( 22 nFS Xn ， 二、填空题： 914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在 答题纸 指定位置上 . (9) 函数 ( ) ln(1 2 )f x x的麦克劳林公式中 nx 项的系数为 _ (10) 微分方程 2 4 0y y y 的通解为 y _ (11) 已知 22422ay dx xydyxy为某函数的全微分，则 a _. (12) 幂级数 112 ( 1)nnn nx 在区间 ( 1,1) 内的和函数 ()Sx _. （ 13）设 ,ab为四维非零的正交向量，且 TA ab= ，则 A 的所有特征值为 . （ 14 ）
5、设 二 维 随 机 变 量 ( ),XY 服 从 正 态 分 布 ( )22, ; , ; 0N m m s s ，则Born to win ( )2cov ,X XY = . 三、解答题： 15 23 小题，共 94 分 .请将解答写在 答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 10 分） 设函数 fu在 0, 内具有二阶导数，且 22z f x y满足等式 222 2 2 2 2211 2z z z zx y zx y x y x yxy ， 若 0 0, 0 1,ff求函数 fu的表达式 . （ 16）（本题满分 10 分）求 21ln ln
6、lim nn kk n k nn （ 17）（本题满分 10 分） 设函数 fx连续，且 20 13 a rc c o t2x tf x t dt x .已知 21f ，求 32 f x dx的值 . （ 18）（本题满分 10 分） 设 ()y f x 是区间 0,1 上的任一非负连续函数 ， ()fx在区间 (0,1)内可导 ,且 2 ( )( ) ,fxfx x 试证明在 (0,1) 内， 1( ) ( ) 0xxf x f t dt存在唯一实根 . （ 19）（本题满分 10 分） 计算曲面积分 1dSz，其中 是球面 2 2 2 2x y z a 被平面(0 )z h h a 截出的
7、顶部。 （ 20） （本题满分 11 分） 设 1 2 3 4, , , ,a a a a b 均为四维列向量， ( )1 2 3 4, , ,A a a a a= ，非齐次线性方程组 AX b= 的通解为 ( ) ( )1 , 2 , 0 , 3 2 , 3 , 1 , 5TTk - + - ( )求方程组 ( )234, Xa a a b=的解； ( )求方程组 ( )1 2 3 4 4, , , , Xa a a a a b b+=的通解 . （ 21） （本题满分 11 分） 设二次型 ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3, , , 5 3 2 6 6f x
8、 x x x a x x x x x x x x= + + - + -的矩阵合同于 1 0 00 1 0000骣琪琪琪琪桫. ( )求常数 a ； Born to win ( )用正交变换法化二次型 ( )1 2 3,f x x x 为标准形 . （ 22） （本题满分 11 分） 将三封信随机地投入编号为 1234， ， ， 的四 个邮筒 .记 X 为 1 号邮筒内信的数目， Y 为有信的邮筒数目 .求： （） ( , )XY 的联合概率分布； （ ） Y 的边缘分布； （ ）在 0X 条件下，关于 Y 的条件分布 . （ 23）（本题满分 11 分） 已知 ),( YX 在直线 0y , 1y , 1xy , xy 围成的区域 D 内服从二维均匀分布 . （ ）求 YX, 的边缘概率密度； （ ）求 X 与 Y 的协方差 ),cov( YX ； （ ）求 YX 的方差 .
