1、1基于 GARCH 模型的残差控制图在股票收益波动分析中的应用研究摘要：在受控过程中，经常出现自相关性和波动簇聚性并存的特征，这违反了常规控制图的独立性假定。一般情况下采用的修正方法都是运用 ARMA 模型表示质量过程，用自相关模型及其残差图解决自相关问题。本文尝试运用 GARCH 类模型及其残差控制图来解决控制过程中出现的波动簇聚问题。并以美国股票市场中的 IBM 股票为例进行简单的实证分析。通过对其日收益率序列进行建模，从而评判该类型残差控制图的有效性。结果表明：控制图在含有相关性和波动性的受控过程中同样有效，其预警作用也比较显著。 关键词：GARCH 类模型 残差控制图 股票日收益率 一
2、、 引言及文献综述 质量控制图是现代质量管理中使用最为广泛的方法和工具，具有至关重要的作用。对于经典控制图而言，其主要有休哈特控制图、在此基础上形成的 CUSUM 与 EWMA 控制图。然而，常规控制图理论基础是受控过程中应当服从独立同分布之假定。实践中我们可以看到，多数受控过程都存在自相关性，或者存在显著的波动簇聚性。尤其在金融领域中，金融时间序列数据大多数存在相关性和波动性。因此，一般认为，传统的控制图是不能运用在金融领域的监测应用。 为了解决此类问题，许多学者对此作了研究。例如，由2Alwan（1988）所提出的针对受控过程中存在自相关问题，建立 ARIMA 模型，通过残差控制图对受控过
3、程进行监控。其设计机理为利用时间序列模型拟合自相关过程，拟合之后形成的残差序列，通常被成为是相互独立的，可采用常规控制网。又或者改良传统控制图，使之同样可以应用到具有相关性的受控过程中去。Bagshaw（1975）和 Yashchin（1993）等提出并发展的修正 CUSUM 控制图， Schmid（1997）等探讨的修正 EWMA控制图等。上述是基于受控过程的自相关性，调整常规控制图控制线，但关于监控具有波动性的受控过程的研究显得比较滞后。其原因之一可能在一般的质量管理过程中很少出现方差变动（波动）的状况。而控制图的应用也主要在工业，医学等领域应用，没有过多的存在相关性和波动性的受控过程。在
4、这方面的研究中，Severin 与 Schipper 先后提出、应用受控过程条件标准差，以取代无条件的标准差。在此基础上，国内学者也对该类问题有所研究。夏远强，韩秀文将 GARCH 模型纳入自相关质量过程控制图，通过分析研究，提出了一种名为 GARCH 的模型控制图。随后，侯雅文，王斌会也将 GARCH 型控制图应用在汇率市场预警监控上，结果说明此类控制图能够较好的检测出宏观因素所致的汇率市场波动性。本文在综合参照各位学者关于 GARCH 类控制图的观点及意见，力图将质量管理过程中的残差控制图方法运用到金融领域方面来，并以美国股票市场中的 IBM 股票为例进行简单的实证分析。通过对其日收益率序
5、列进行建模分析，并对残差序列建立控制图，从控制图中判断股票在此监控期间存在的各类特殊情况，以此说明控制图在含有相关性和波动性3的受控过程中同样有效，其预警作用也比较显著。 二、 数据预处理及来源说明 相较于美国股市的成熟性，本文中选取了美国 IBM 股票 2005 年 1 月到 2012 年 12 月的收盘数据作为样本。在剔除停牌时间内数据后共收集到 2013 个数据，分别以每日收盘价计算它们的对数收益率 rt 如下： 其中，分别表示 IBM 在 t 和 t-1 天的指数值，rt 表示第 t 天的对数收益率。以 p 代表 IBM 的每日收盘价，对指数取对数记作：lnp，对数一阶差分（收益率）记
6、作：r。 本文中的数据均来源于雅虎金融，分析工具为SAS9.1.3、EVIEWS6.0。 三、 实证分析过程 （一）GARCH 型过程及残差控制图模型 一般情况下，自回归异方差模型（GARCH）为 式中，为受控过程中监测序列，为在给定前期信息集的情况下，的条件均值（其中可以包含表示质量环境的变量，如系统因素等） ，为白噪声序列，服从正态分布，且相互独立。的方差具有时变性为模型参数。 的数学期望为； 条件方差为。 对于无相关过程、以及 ARIMA 型等相关过程而言，各时刻方差均可视为无条件方差，也就是说方差值一直是某一个常数。实践中可以看到，将控制线与无条件方差联系在一起具有一定的合理性。然而
7、GARCH 型自相关过程中的各个时刻条件方差，与无条件方差之间却不能划等号，且4随时间在变动。故控制图的控制线采用无条件方差是不合理的。 从上面 GARCH 模型可以知道，残差服从均值为 0，条件方差为的正态分布，即。进一步可知，观测序列服从均值为，条件方差为的正态分布。在 99.73%的置信水平下。则若对过程进行监控，则控制图的控制线可确定为 但由于均为变量，会随时间变化而变化，此时利用控制图识别异常点相对难度较大。基于此，笔者认为在进入残差控制图思想，将变为。可知，残差落在内的概率同样为 99.73%。转化后的控制图其控制线在99.73%的置信水平下定为： 尽管 GARCH 残差控制图上下
8、界限依然会随时间的改变而发生变化，但其中心线已经成为直线。就视觉角度而言，该控制图对异常点识别较之于转化前，已经有了很大程度的改变。 （二）基本统计描述 1、IBM 日收益率时间序列图 为了了解 IBM 股票日收益率总体的基本性状，利用 SAS9.1.3 给出了样本数据的时序图，如图 1 所示； 2、平稳性分析 对收益率序列进行平稳性分析，可得到表 1 如下 从上表中可以看出，在 1%显著性水平下，ADF 检验的 t 统计量远小于临界值，即拒绝原假设，表明 IBM 日收益率序列不存在单位根，本样本系列为平稳序列。因此，可以对此序列进行 GARCH 建模分析。 （三）模型构建及相关分析 51、均值方程的建立
