1、加强数形结合 提高解题能力一、 绪论 恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学” 数学中的两大研究对象“数”和“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素数形结合是贯穿于数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论 “数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径数形结合是连接“数”和“形”的“桥” ，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的数学思想高中数学学习中，数形结合
2、的思想更是贯穿始终 二、研究的目的和意义 数是形的抽象概括，形是数的直观表现华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事非 ”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化 数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥” 在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果
3、教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解 三、数形结合在提高学生解题能力中的作用 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形” ，而第二种情形是“以形助数”
4、 其中数形结合的重点是研究“以形助数” 根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决 （一） “以形助数” 点评:运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，以开拓自己的 思维视野 点评:数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质,简化计算 点评:许多函数的最值问题，
5、存在着几何背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解 点评:向量具有一套良好的运算性质，通过建立直角坐标系可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，借助数的精确与规范严密性阐明了立体几何的属性，既简化了空间想象能力难的问题，又显得特别简洁 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是
6、正确确定参数的取值范围 四、数学教学中渗透数形结合思想 数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想教材中这一思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己 新课标的教学内容早已全面实施，按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看，数形结合法教学主要经历三个阶段： 第一阶段是数形对应，它是数形结合基础，主要是通过平时概念的教
7、学逐步渗透，让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和掌握一方面，实数与数轴上的点的对应，平面上点与有序实数对间的对应，函数与图象的对应，曲线与方程的对应等，以及以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等等都为数形结合创造了条件，提供了理论支撑另一方面，高中数学概念具有较强的抽象性、概括性，学生在理解时有较大的难度可以借助形的几何直观性来达到帮助学生理解的目的例如，将函数与图象结合起来,用几何方法表述函数关系来帮助学生理解函数的抽象 第二阶段是数形转化，它体现了数与形关系在解决问题过程中，如何作为一种方法而得到运用数学问题是开展数学思维的前提,解决问题的过程,本质上就是一个思维训练的过程我们可以将数形结合渗透在问题的解决过程中,主要体现在以下三个方面： （1）以形助数体会形在问题解决中的直观性 ； （2）以数助形体会数的论证在问题解决中的简洁性； （3）数形结合体会两者的统一性 第三阶段是数形分工，这是把应用数形结合思想作为解决问题中的一种策略例如，高三复习中重点开设数形结合思想方法专题，以达到系统巩固的目的 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，往往事半功倍因此，高中数学教学中必须加强数形结合，提高学生数学素质与解题能力
