1、1-4 求符号函数 (见图 1-25a)和单位阶跃函数 (见图 1-25b)的频谱。tsgn(t)01-1tu(t)01图 1-25 题 1-4 图a)符号函数 b)阶跃函数a)符号函数的频谱 10()sgntxttt=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。1 0()sgn()atatexe10limattxt022211 2204()() ()jftatjftatjft fXfteded
2、edja 10()sgn()li()aftXfjfF1()Xff02()ff符号函数1()sgn()atxetx1(t)01 -1 符号函数频谱 f(f)0 /20 f|X(f)| -/2b)阶跃函数频谱 0()tut在跳变点 t=0 处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法 1：利用符号函数()sgn()2utt1111sgn()()()222Uft tfjfjffFF22()()fff结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t
3、)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单位阶跃信号频谱f|U(f)|0(1/2)f(f)0/2-/2解法 2：利用冲激函数 10()()dt tu时时根据傅里叶变换的积分特性 11()()d()(0)()22tUf fffjj f F1-6 求指数衰减信号 的频谱0()sinatxe指数衰减信号x(t)解答： 0001sin()2jtjtte所以 00()jtjtatx单边指数衰减信号 的频谱密度函数为1()0,)atxet11 201()()jttjt ajXfxeddj 根据频移特性和叠加性得： 0010102
4、2222 02 22200 0()()()()()()()()()ajajXjaj 00X()-()指数衰减信号的频谱图1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡 。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信0cos(mt号，余弦振荡 叫做载波。试求调幅信号 的傅0cost里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 时m将会出现什么情况？图 1-27 题 1-7 图F()0f(t)0 t -m m解： 0()cos()xtftF0001cos()2jtjtte所以 00()jtjtxffe根据频移特性和叠加性得： 0011()()()22XfF可见调幅信号的频
5、谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。fX(f)0-0矩形调幅信号频谱若 将发生混叠。0m4-12 若将高、低通网络直接串联（见图 4-46） ，问是否能组成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频率特性。R1C1uo(t)图 4-46 题 4-12 图C2R2ui(t)解： 12123()()sHs1=R1C1， 2=R2C2， 3=R1C211223()()j122123()A213()arctn()A(0)=0， (0)=/2；A()=0 ， ()=-/2，可以组成带通滤波器，如下图所示。-50-40-30-20-100Magnitude(
6、dB)101 100 101 102 103 104-90-4504590Phase(deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)5-3 求方波和正弦波（见图 5-24）的互相关函数。ty(t)tx(t)1-11T-1图 5-24 题 5-3 图sin(t)00解法 1：按方波分段积分直接计算。0034 43411()()()sin)sin)(1)sin)2i()TTxy TRxtydtxtytdttdt A解法 2：将方波 y(t)展开成三角级数，其基波与 x(t)同频相关，而三次以上谐波与 x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算 y(t)的基波与 x(t)的互相关函数即可。41()cos3cos5tttt 所以 00004()()in()cos()41sins2()i()2sisnTTxyTTRxtydtttdtttdt 解法 3：直接按 Rxy()定义式计算(参看下图) 。0344341()()sin1sin()(1)sin)2iTxy TTRxtydttdtdt Aty(t)tx(t)1-11T-1sin(t)00ty(t+)1-104T34TTT344T参考上图可以算出图中方波 y(t)的自相关函数4102()3(),1,yyTRTn Ry()0方波的自相关函数图TT/2
