数学建模产品生产销售问题论文.doc

1、0产品生产销售优化问题摘要： 本问题 属于产品生产销售优化模型，通 过对某企业生产的手工产品的生产销售及其他因素的具体分析，我们可以列出 许多不同变量，从而确定目标函数和约束条件，利用线性规划的方法，使用 LINDO 软件得出结果。 对于问题（1），在不促销的情况下，成本最小为1164492 元 ，利润最大为 1110518 元，每月的生产量分别为835，1365，1575，1475，1600，1500 件，每月工人的数量 为 8，13，15，14，15，14 人；对于问题（2），7 月份促销的情况下，成本最小为 1164578 元，利润最大为 935422 元 ，11 月份促销的情况下，成本

2、最小为 1164692 元 ，利润最大为 935308 元。通过比较可以得出：不促销时，成本最小利润最大。本模型为该 企业的生产销售提供了可行性方案。关键字：利润最大化 成本 生产 销售 线性规划一、问题重述： 某企业生产一种手工产品，在现有的营销策略下，根据往年经验，现对下半年 6 个月的产品需求预测如表 1 所示。表 1 产品需求预测估计值（件）月份 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月预计估计值 1200 1400 1550 1500 1600 15007 月初工人数为 12 人，工人每月工作 21 天，每天工作 8 小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过 10 个小时

3、。7 月出的库存量为 400 台。产品的销售价格为 260 元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。12 月末的库存为 0（不允许缺货） 。各种成本费用如表 2 所示。表 2 产品各项成本费用原材料成本 库存成本 缺货损失 外包成本 培训费用100 元/件 10 元/件/月 20 元/件/月 20 元/件 50 元/人解聘费用 产品加工时间 工人正常工资 工人加班工资100 元/人 1.6 小时/件 12 元/小时/人 18 元/小时/人（1（ 建立数学模型并制定出一个成本最低、利

4、润最大的最优产销方案；（2（ 预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为 240 元/件时，则接下来的两个月中 6%的需求会提前到促销月发生。试就 7 月份（淡季）促销和 11 月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销方案。二问题分析：通过对产品生产销售优化问题的分析，可把问题转化为生产成本最低问题，而生产成1本又与原料成本，库存成本，缺货成本，包装成本，培训成本，解雇费用，工人正常工资和加班工资有关，总成本=原料及包装成本+库存成本+ 缺货成本+培训成本+解雇费用+ 工人正常工资+加班工资，要使成本最小.利润最大，就必须求出成本最低方案。由

5、上面部分，可设每月生产的产品数量 Xi，每月的缺货量 Yi,每月的库存量 Zi,每月解雇的工人数 Mi ,每月培训的工人数 Ni ,每月所有工人总加工时间 Ti ,每月的工人数 Si ,其中 i=1,2,3,4,5,6.可得总成本的表达式为：M=612010520168iii iiiiXYZS再根据题中约束条件，可列出线性关系，利用线性方程规划原理，使用 Lindo 软件，得出最优解，再根据程序运行结果对 7 月份和 11 月份促销方案进行判断、并改变相应的数字利用 Lindo 求解，得到最优结果与未促销时的方案比较得到最优的产销规划方案。三模型假设：（1）所有工人都在正常情况下（不允许请假离

6、职）工作；（2）工厂正常生产且销售连续不间断；（3）生产的产品都合格且都进行外包装；（4）市场稳定即各项费用及销售价格均不发生变化 ；（5）在问题（2）中，促销只把 12 月份的需求提前到促销月 11 月中；（6）假设预计需求量就是销售量 ；四符号说明：Xi : i+6 月生产的产品数量（i=16）Yi : i+6 月末的缺货量 (i=16)Zi :i+6 月末的库存量(i=16)Mi :i+6 月解雇的工人数(i=16)Ni :i+6 月培训的工人数(i=16)Ti : i+6 月所有工人总加工时间(i=16)Si ：i+6 月的工人数(i=16)Ki ：i+6 月的预计销售量（i=16)五

7、模型建立与求解（一）问题（1）：通过对生产销售问题的分析可得，目标函数为：min M=612010520168iii iiiiXYZMNST约束条件：（1）第 i+6 月，所有工人正常工作 8 小时的加工产品件数（21*8/1.6 ）*Si和加班时的加工件数 Ti/1.6 与生产件数 Xi 满足(21*8/1.6)*Si+0.625Ti-Xi0（i=16）(2)七月初人数为 12 人：S0=12; 则 i+6 月的人员调动满足:Si-1-Si=Mi-Ni;2(3)在 i+6 月加工时间应满足：10Si-Ti0 (i=16);(4)在 i+6 月生产量在满足本月预计需求的情况下与相邻两月的库存量

8、或缺货量满足：Xi+Yi-Zi-Yi-1+Zi-1=Ki;其中 Ki=1200,1400,1550,1500,1600,1500;(5)生产量和七月初的库存总和满足： =1200+1400+1550+1500+1600+1500-61iX400=8350；编写程序用 LinDo 软件运行结果的(程序及运行结果见附录一)不促销时成本最低的方案 表一生产量件 缺货量件 库存量件 解雇人数人 雇用人数人 加工时间小时工人数人X1 835 Y1 0 Z1 35 M1 5 N1 0 T1 0 S1 8X2 1365 Y2 0 Z2 0 M2 2 N2 0 T2 0 S2 13X3 1575 Y3 0 Z

9、3 25 M3 0 N3 1 T3 0 S3 15X4 1475 Y4 0 Z4 0 M4 1 N4 0 T4 8 S4 14X5 1600 Y5 0 Z5 0 M5 0 N5 1 T5 40 S5 15X6 1500 Y6 0 Z6 0 M6 0 N6 0 T6 48 S6 14总成本 1164492 元，预计销售额：260*8750=2275000 元,利润=预计销售额-总成本=1110508 元。 （二）问题（2）：本问题第一部分的模型在七月份进行促销只需对问题（1）模型中（4）的 Ki 值做适当调整，其中 K1=1200+1400*6%+1550*6%=1377，K2=1400*(1-

10、6%)=1316, K3=1550*(1-6%)=1457, K4=1500,K5=1600, K6=1500;分别表示七月促销时，第 7,8,9,10,11,12 月的销售量。编写程序用 LinDo 软件运行结果(程序及运行结果见附录二)7 月促销时成本最低的方案 表二生产量件 缺货量件 库存量件 解雇人数人 雇用人数人 加工时间小时工人数人X1 1033 Y1 0 Z1 56 M1 0 N1 0 T1 0 S1 10X2 1260 Y2 0 Z2 0 M2 2 N2 0 T2 0 S2 12X3 1470 Y3 0 Z3 13 M3 0 N3 0 T3 0 S3 14X4 1487 Y4

11、0 Z4 0 M4 1 N4 0 T4 27 S4 14X5 1600 Y5 0 Z5 0 M5 0 N5 1 T5 40 S5 15X6 1500 Y6 0 Z6 0 M6 0 N6 0 T6 48 S6 14总成本：1164578 元，预计销售额：240*1377+260（1316+1457+1500+1600+1500）3=2247720 元，利润= 预计销售额- 总成本=1083142 元；本问题第二部分的模型在十一月份进行促销只需对问题（1）模型中（4）式中的 Ki 做适当调整得其中 K1=1200，K2=1400， K3=1550， K4=1500,K5=1600+1500*6%=

12、1690,K6=1500*(1-6%)=1410.分别表示十二月促销时，第 7,8,9,10,11,12 月的销售量编写程序用 lindo 软件运行结果的(程序及运行结果见附录三) 11 月促销时成本最低的方案 表三生产量件 缺货量件 库存量件 解雇人数人 雇用人数人 加工时间小时工人数人X1 835 Y1 0 Z1 35 M1 5 N1 0 T1 0 S1 8X2 1365 Y2 0 Z2 0 M2 2 N2 0 T2 0 S2 13X3 1575 Y3 0 Z3 25 M3 0 N3 1 T3 0 S3 15X4 1475 Y4 0 Z4 0 M4 2 N4 0 T4 8 S4 14X5

13、1690 Y5 0 Z5 0 M5 0 N5 3 T5 16 S5 16X6 1410 Y6 0 Z6 0 M6 0 N6 0 T6 72 S6 13总成本;1164692 元， 预计销售额:240*1690+260*（1200+1400+1550+1500+1410）=2241200 元，利润= 预计销售额- 总成本=1076508 元。六模型解释：(1)第一问：通过模型分析、建立及程序运行结果:当在七月份 8 名员工不加班的情况下能生产 835 件产品，本月底有库存 35 件，为下月培训新员工 5 人；在八月份 13 名员工不加班的情况下能生产 1365 件产品，本月底既不库存也不缺货，并

14、招新培训 2 名员工；在九月份 15 名员工不加班的情况下能生产 1575 件产品，本月底有库存 35 件，解聘 1 人；在十月份 14 名员工加班 8 小时的情况下能生产 1475件产品，本月底既不库存也不缺货 并招新培训 1 名员工；在十一月份 15 名员工加班 40 小时的情况下能生产 1600 件产品，本月底既不库存也不缺货解聘 1 人；在十二月份 14 名员工加班 48 小时的情况下能生产 1500 件产品，本月底既不库存也不缺货，既不招新也不解聘员工；通过对“影子价格”的分析知：当 10,11,12 月份的产量每增加 1 件时，成本可减少28.79 元，对各个月加班时间适当调整不影

15、响成本。(2)第二问：通过对七月份进行促销的模型分析、建立及程序运行得结果：当在七月份 10 名员工不加班的情况下能生产 1033 件产品，本月底有库存 56 件，既不招新也不解聘员工；在八月份 12 名员工不加班的情况下能生产 1260 件产品，本月底既不库存也不缺货，并招新培训 2 名员工；在九月份 14 名员工不加班的情况下能生产 1470 件产品，本月底有库存 13 件，既不招新也不解聘员工；在十月份 14 名员工加班的 27 小时情况下能生产 1487 件产品，本月底 既不库存也不缺货，并招新培训 1 名员工；在十一月份15 名员工加班 40 小时的情况下能生产 1600 件产品，本

16、月底既不库存也不缺货，解聘 1 人；4在十二月份 14 名员工加班 48 小时的情况下能生产 1500 件产品，本月底既不库存也不缺货，既不招新也不解聘员工；通过对“影子价格”的分析知对 10,11,12 月份的产量每增加一件成本可减少 28.79 元，对各个月加班时间适当调整不影响成本。(3)通过对十一月份进行促销的模型分析、建立及程序运行得结果;当在七月份 8 名员工不加班的情况下能生产 835 件产品，本月底有库存 35 件，解聘 5名员工；在八月份 13 名员工不加班的情况下能生产 1365 件产品，本月底既不库存也不缺货，解聘 2 名员工；在九月份 15 名员工不加班的情况下能生产

17、1575 件产品，本月底有库存 25 件，招聘新 1 员工；在十月份 14 名员工加班的 8 小时情况下能生产 1475 件产品，本月底既不库存也不缺货，并解聘 2 名员工；在十一月份 16 名员工加班 16 小时的情况下能生产 1690 件产品，本月底既不库存也不缺货，招新 3 名员工；在十二月份 13 名员工加班72 小时的情况下能生产 1410 件产品，本月底既不库存也不缺货，既不招新也不解聘员工。通过对“影子价格”的分析知：当 10,11,12 月份的产量每增加一件时，成本可减少28.79 元，对各个月加班时间适当调整不影响成本。通过对三个方案结果的比较，不促销时，利润最大，所以我们认

18、为，应采用方案一。六，模型应用与推广本模型适用于企业工作人员任意变动，加班时间任意变化的优化模型；当销售量变化时，只需对模型中的相应 Ki 作以修改；本模型的条件中每月加班时间不超过 10小时，如改变需对模型适当修改。在问题（2）中，我们只考虑利润，而确定了方案一比较好，没有考虑销售时间，如对时间有规定，则可对模型稍作改动，就可求解。【参考文献】【1】王兵团。数学建模基础M.北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004。【2】王连堂主编， 数学建模 ，西安：陕西师范大学，2008,.5。【3】姜启源，谢金星，叶俊。数学建模（第三版） 【M】.北京：高等教育出版社，2003。【4】 优化建

19、模与 LINDO/LINDO 软件 ，谢金星，薛毅编著，北京：清华大学出版社，2005,7。【5】姜启源，数学模型【M】.北京：高等教育出版社，1993.25附录一程序：min 120x1+120x2+120x3+120x4+120x5+120x6+20y1+20y2+20y3+20y4+20y5+20y6+10z1+10z2+10z3+10z4+10z5+10z6+100m1+100m2+100m3+100m4+100m5+100m6+50n1+50n2+50n3+50n4+50n5+50n6+2016s1+2016s2+2016s3+2016s4+2016s5+2016s6+18t1+18

20、t2+18t3+18t4+18t5+18t6st105s1+0.625t1-x10105s2+0.625t2-x20105s3+0.625t3-x30105s4+0.625t4-x40105s5+0.625t5-x50105s6+0.625t6-x60s0=12s2-s1-m1+n1=0s3-s2-m2+n2=0s4-s3-m3+n3=0+s5-s4-m4+n4=0s6-s5-m5+n5=0x1+x2+x3+x4+x5+x6=8350x1+y1-z1=800x2+y2-z2-y1+z1=1400x3+y3-z3-y2+z2=1550x4+y4-z4-y3+z3=1500x5+y5-z5-y4+

21、z4=1600x6+y6-z6-y5+z5=150010s1-t1010s2-t2010s3-t3010s4-t4010s5-t5010s6-t60end6gin 36运行结果：OBJECTIVE FUNCTION VALUE26) 1164492.VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 835.000000 120.000000X2 1365.000000 120.000000X3 1575.000000 120.000000X4 1475.000000 148.800003X5 1600.000000 148.800003X6 1500.000000 148.80000

22、3Y1 0.000000 20.000000Y2 0.000000 20.000000Y3 0.000000 20.000000Y4 0.000000 20.000000Y5 0.000000 20.000000Y6 0.000000 20.000000Z1 35.000000 10.000000Z2 0.000000 10.000000Z3 25.000000 10.000000Z4 0.000000 10.000000Z5 0.000000 10.000000Z6 0.000000 10.000000M1 5.000000 100.000000M2 2.000000 100.000000M

23、3 0.000000 100.000000M4 1.000000 100.000000M5 0.000000 100.000000M6 0.000000 100.000000N1 0.000000 50.000000N2 0.000000 50.000000N3 1.000000 50.000000N4 0.000000 50.000000N5 1.000000 50.000000N6 0.000000 50.000000S1 8.000000 2016.000000S2 13.000000 2016.000000S3 15.000000 2016.000000S4 14.000000 -10

24、08.000000S5 15.000000 -1008.000000S6 14.000000 -1008.0000007T1 0.000000 18.000000T2 0.000000 18.000000T3 0.000000 18.000000T4 8.000000 0.000000T5 40.000000 0.000000T6 48.000000 0.000000S0 12.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 5.000000 0.0000003) 0.000000 0.0000004) 0.000000 0.0000005)

25、 0.000000 -28.7999996) 0.000000 -28.7999997) 0.000000 -28.7999998) 0.000000 0.0000009) 0.000000 0.00000010) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 0.000000 0.00000017) 0.000000 0.00000018) 0.000000 0.00000019) 0.0

26、00000 0.00000020) 0.000000 0.00000021) 80.000000 0.00000022) 130.000000 0.00000023) 150.000000 0.00000024) 132.000000 0.00000025) 110.000000 0.00000026) 92.000000 0.000000NO. ITERATIONS= 272BRANCHES= 27 DETERM.= 1.000E 0附录二程序：min 120x1+120x2+120x3+120x4+120x5+120x6+20y1+20y2+20y3+20y4+20y5+20y6+10z1

27、+10z2+180z3+10z4+10z5+10z6+100m1+100m2+100m3+100m4+100m5+100m6+50n1+50n2+50n3+50n4+50n5+50n6+2016s1+2016s2+2016s3+2016s4+2016s5+2016s6+18t1+18t2+18t3+18t4+18t5+18t6st105s1+0.625t1-x10105s2+0.625t2-x20105s3+0.625t3-x30105s4+0.625t4-x40105s5+0.625t5-x50105s6+0.625t6-x60s0=12s2-s1-m1+n1=0s3-s2-m2+n2=0s

28、4-s3-m3+n3=0+s5-s4-m4+n4=0s6-s5-m5+n5=0x1+x2+x3+x4+x5+x6=8350x1+y1-z1=977x2+y2-z2-y1+z1=1316x3+y3-z3-y2+z2=1457x4+y4-z4-y3+z3=1500x5+y5-z5-y4+z4=1600x6+y6-z6-y5+z5=150010s1-t1010s2-t2010s3-t3010s4-t4010s5-t5010s6-t60endgin 36运行结果:OBJECTIVE FUNCTION VALUE26) 1164578.VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 1033

29、.000000 120.000000X2 1260.000000 120.000000X3 1470.000000 120.000000X4 1487.000000 148.800003X5 1600.000000 148.800003X6 1500.000000 148.800003Y1 0.000000 20.000000Y2 0.000000 20.0000009Y3 0.000000 20.000000Y4 0.000000 20.000000Y5 0.000000 20.000000Y6 0.000000 20.000000Z1 56.000000 10.000000Z2 0.000

30、000 10.000000Z3 13.000000 10.000000Z4 0.000000 10.000000Z5 0.000000 10.000000Z6 0.000000 10.000000M1 2.000000 100.000000M2 2.000000 100.000000M3 0.000000 100.000000M4 1.000000 100.000000M5 0.000000 100.000000M6 0.000000 100.000000N1 0.000000 50.000000N2 0.000000 50.000000N3 0.000000 50.000000N4 0.00

31、0000 50.000000N5 1.000000 50.000000N6 0.000000 50.000000S1 10.000000 2016.000000S2 12.000000 2016.000000S3 14.000000 2016.000000S4 14.000000 -1008.000000S5 15.000000 -1008.000000S6 14.000000 -1008.000000T1 0.000000 18.000000T2 0.000000 18.000000T3 0.000000 18.000000T4 27.200001 0.000000T5 40.000000 0.000000T6 48.000000 0.000000S0 12.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 17.000000 0.0000003) 0.000000 0.0000004) 0.000000 0.0000005) 0.000000 -28.7999996) 0.000000 -28.7999997) 0.000000 -28.7999998) 0.000000 0.0000009) 0.000000 0.000000