电磁场习题解读.doc

1、1静电例 1、三个点电荷 q1、q2、q3 沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且q1=q3=Q，求在固定 q1、q3 的情况下，将 q2 从 o ,外力需作功 A= a aq1 q2 q3xo解：由已知 q1 所受静电力例 2、有两个点电荷带电量为 nq 和-q（n1),相距 d,证明电势为零的等势面为一球面。证明：空间任一点电势整理可得：上式为球面方程：球心坐标 球面半径dn1(2 、0、0）例 3、点电荷-q 位于圆心处， A、B 、C、D 位于同一圆周上的四点如图示。将 q0 从 A 移至 B、C、D 点，电场力的功。A=0例 4.已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷

2、电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量 ，求:通过其余部分的电场通量 。12解：由高斯定理， ，SieqdE00ei120例 5、长为 L,线电荷密度 的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a，求两棒间的静电力。LL a04)(232031aqfQqeA)0(2oUqaQq024028qnU220220 )(44 zydxzyxn令2222q)( zyxzydxn222)1(n12ndRS S2解：任意一根棒上一段电荷元在其延长线上一点产生场强 dE: ，xldE)(420LlxdE02)(4Llx0)(4x14Ldl dExo l则棒 2 受棒 1 静电力： ，其中 df 是棒

3、 2 上一段电荷元所受棒 1 的静电力fd， EdqfxLx140dfaL20 )2(ln40aLLdl ExlLo ax+dx例 6 .无限长共轴直圆筒，半径为 R1，R2 ，均匀带正电，单位长度电量分别为 1， 2，设外筒电势为 0，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。解：电场具有对称性，利用叠加原理求场强：当 rR2 时, ；0212然后用线积分求电势分布，当 rR2 时， 2RpldEVrRd201r201lnR1 R2O3筒间电势差 即 r=R1 处的电势U120lnRU 选做题1、半径为 R 的均匀带电圆面，电荷的面密度为 e ，（1）球轴线上离圆心的坐标为 x 处的场强；（

4、2）在保持 e 不变的情况下，当 R 分别趋于 0 和时，结果各如何？（3）在保持总电荷 Q=R2 不变的情况下，当 R 分别趋于 0 和时，结果各如何？（4）求轴线上电势 U（x）的分布，并画出 U-x 关系曲线。2、半径为 R1 的导体球带有电荷 q，球外有一个内外半径分别为 R2、 R3 的同心导体球壳，壳上带有电荷 Q，（1）求两球的电势 U1 和 U2；（2）以导线把球和壳接在一起后， U1 和 U2 分别是多少？（3）在（1）中，若外球接地，则 U1 和 U2 分别是多少？（4）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？例题 1 设电偶极子的两电荷 q 和+q 间的距离为 l，求距离

5、电偶极子远处的电势和场强的分布。 解 ( 1 ) 电势分布设场点 P 到 的距离分别为 和 ，则 单独存在时 Pr点的电势为.rqU04根据电势叠加原理，有.)1(0r电偶极子的中点 O 到场点 P 的距离为 r, 按题意 ，于l是有：, ;cos2lrcos2l, .r将它们代入 U 的表达式，可得,200cos44rpqrq 3电偶极子在远处的性质是由它的电偶极矩 决定的。l=( 2 ) 场强分布4由于轴对称性，U 与方位角 无关，采用平面极坐标系，其极轴沿电矩 p，原点 O 位于电偶极子的中心。场强 E 的两个分量分别为：,30cos241rprr ,30in在电偶极子的延长线上，有：，

6、 ； 30241rpE在电偶极子的中垂面上， ，有：，r.3041pE例题 2 一示波器中阳极 A 和阴极 K 之间的电压是3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。解 电子带负电， ，所以它沿电势升高的方向加速运动，即从C106.9eq阴极 K 出发到达阳极 A. 于是， J)3(U.84电场力作功使电子动能增加，因此电子到达阳极时获得的动能为.10.216Aevm又，电子质量 ，所以电子到达阳极时的速率为kg93./s25.8471eK元电荷 是电子和质子等微观粒子带电的基本单位。任何一个带有电量 eC06的粒子，只要飞越一个电势差为 1 V 的区间，电

7、场力就对它作功,J.91A从而该微观粒子本身就获得了这么多的能量。在近代物理学中，常把这个能量称为 1 eV (电子伏特) ，即.06.e5例题三 设想一厚度 均匀的曲面薄壳，两面带l有符号相反的面电荷 e电偶极层,如图，求 P 点的电势和场强。解： 041)(SerdpU0)(41Serde从图中看： 为矢径 r 与 dS 法线 n 之间的夹角，于是有,coslrrlrllr1)s(cos122cos1cos1rlrlr，代入 )(pU SedlpU204)(drS2cos定义电偶极层强度：单位面积上的电偶极矩le004)(eSdpUP 点的电场强度0)(eE讨论：1） 电偶极层的电势和场强

8、只与对场点所张的立体角有关；2） 几何上决定，电偶极层两侧立体角有 的跃变：4负电荷一侧： ；0,0cos,2/,cos2 SdrdS面元 dS 在垂直于矢径 r 方向的投影曲面 S 对场点 P所张的立体角6正电荷一侧： 0,0cos,2/,cos2 SdrdS具体考察图中两点 ，立 体 角 立 体 角 P当该两点趋于偶极层表面时，相对应的立体角之差：4电偶极层两侧的电势跃变：00)(4)( eeepU稳恒磁场定理及定律：洛伦兹力公式： BvqEf安培定律 ： lIdF毕萨定理： 24r几种典型电流的 B 分布：一段载流直导线： )sin(i120aI圆电流圈的圆心和轴线上： )(22/30不

9、 必 记轴 线中 心 xRISB例题 1、如图在半径为 R 的圆周上， a、b、c 三点依次相隔 90，a、c 两处有垂直纸面向里的电流元。求：b 点磁感应强度 解: ；204IdlBdlIdlI 240RIdlB204Idl例题 2、 无限长载流圆柱体，半径 R，通以电流 I，电流均匀分布在截面上，现在圆柱体挖去一半径为 b 的小圆柱体，其轴线相互平行，且相距 a(a+bR),设挖去小圆柱体后，余下部分电流密度不变，p 点在 oo 的延长线上 op=a。求：Bp=?解：电流均匀分布的无限长载流柱体的磁场分布为：7；此题相当于电流流向相反的大小两载流柱体产生磁场的叠加rRIB2002a002R

10、bI)(20abI例题 3、 载流方线圈边长 2a,通电流 I,求：中心 o 处磁感应强度解：O 点 B 为四段有限长直载流导线产生的磁感应强度的叠加，方向相同，所以方向：104sini120aI)45sin(i400oaIaI02例题 4、无限长直电流 I1 在纸面内，无限长直电流 I2 与纸面垂直，并与 I1 相距 d ， P 点纸面内与 I1I2 的距离均为 d。设： AIIcm.6. 21求：P 点的磁感应强度大小解：；rIB20直 导 线 )(02.71520 TIdp 例题 5 、点电荷 q 在均匀磁场中固定不动，一电子质量 m，电荷为 e，在 q 的库仑力及磁场力的作用下，绕 q

11、 作匀速圆周运动，轨道平面与 B 垂直。已知 q 作用在电子上的力的大小等于磁场力的 N 倍，求电子正反两个方向的角速度。解：由题意分析，e、q 一定异号，它们之间的静电力为吸力。当磁场力也提供向心力时，；mrBeFm2)1( eN)1(1当磁场力与静电力反向时（电子反向转） N)(2麦克斯韦方程组 1、 已知无源区（ )中电场强度 。式中 0,J )cos(kztExm、 kEm是常量。用 maxwell 方程求 ，并证明：B02k解：利用 maxwell 方程 ，并用分量表示 得：tEtB/)()sin( tztBytxkztkEym令上式中对应个分量相等，然后对 t 求积分并略去与 t

12、无关的常数项，得，0zxB)cos(kzEmy写成矢量式： tk8将上式代入 tEB0得： ，比较题给的可得 ：)cos(02kzkEmx02k2、证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。证明：根据 maxwell 方程的辅助方程 EJ代入电流连续性方程 tJ由于媒质均匀，所以 0)()(t由于 ，则 ， 即 ，代入，有DEE0t所以任意瞬间的电荷密度为 ，式中， 是时刻 t=0 的电流密度。式中的tet0)(0，具有时间的量纲，称为导电媒质的弛豫时间或时常数。它是电荷密度减少到其/初始值的 1/e 所需的时间。由电荷密度的表示式可知，电荷按指数规律减少，最终流至并分布于导体的外表面。

13、3、证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为 0。证：据 maxwell 方程 tDJH可知通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为 ssc SdHSdtDJ)()(上式右边用散度定理整理后，可写成 0)(sV s dccV IIStDJdH)()(故通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量 I 为 0。4、计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振幅比值。设铜中的电场大小为 ，)sin(0tE铜的电导率为 ，ms/108.570解：铜中的传导电流大小为 )sin(tEJc铜中的位移电流大小为 co0ttDd因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅比值为9ffJcd 197906.108.53625、设 z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z0 一侧为理想导体，分界面出的磁场强度为 )cos()in),(0aytxHzyx求理想导体表面上的电流分布、电荷分布及分界面处的电场强度。解：根据理想导体分界面上的边界条件，可求得理想导体表面上的电流分布)cos()in)cs()i 00 aytxHytxznJs 由分界面上的电流连续性方程有 )sin()os(00aytxaHtyts所以有 ),(cs(0 yxcts 假设 t=0 时 ， s由边界条件 及 方向，可得sDn )cos()in(),0(0aytxaHztyxD所以 cos)in(),0(0taHztyxE