《概率论与数理统计》第一章习题及答案.doc

1、概率论与数理统计第一章 习题及答案习题 1.11. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现CBA,正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。CBA,解： (正，正) ，（正，反），（反，正），（反，反） (正，正 )，（正，反） ； （正，正），（反，反）B(正，正 )，（正，反），（反，正）2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为DCA,偶数”，“点数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事件 中DCBB,的样本点。解：； )6,()2,(16,)2(,)(,12)6,(,1)( ；

2、3AB；,4,5,；C；)2,(1)4,6(2),15(6,)2(,),(D3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用BA,表示以下事件：C,（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1） ；CBA（2） ；（3） ；（4） ;（5） ；CBA（6） ；（7） 或CBACB（8） ；（9） CBA4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙321,A射中。试说明下列事件所表示的结果： , , , , 2121A

3、, .321A3121A解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容CBA,的事件的和： ， ， .ACB解：如图：CBACBABAACB BA ; ;6. 若事 件 满C,足 ，试问 是否BA成立？举例 说明。解：不 一定成立。例如： ， ， ，5,43A3B5,4C那么， ，但 。CA7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例, CBA)()(说明。解：不一定成立。 例如： ， ， ，5,436,7,那么 ，但是 。3)(CBA76)(CB

4、A8. 设 ， 21)(P，试就以下三种情况分别求 ：)( )(ABP（1） ， （2） ， （3） .ABBA81)(解：（1） ；21)()()( ABPABP（2） ；6)()()(（3） 。8312)()()( ABPABP9. 已知 ， ， 求41)()(C16)()(C0)(ABP事件 全不发生的概率。CBA,解：=)(1)( BAPP )()(1 ABCPC83060410. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都A是红灯”= “全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； BCD“无绿”； “三次颜色相

5、同”； “颜色全不相同”； EFG“颜色不全相同”。H解：； ；2713)()( CPBA 2783)(EPD； ；9271)(F923!)(G.8)()(PH11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次），试求：（1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率；（2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。解：一次拿 3 件：（1） ； （2） ；058.1298CP 0594.310982982CP每次拿一件，取后放回，拿 3 次：（1） ；

6、 （2） ；0576.923 58.103每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：（1） ；8.908P（2） 054.16712. 从 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率：9,210， 。501与三 个 数 字 中 不 含A502或三 个 数 字 中 不 含A解：；17)(3081CP或54219A154)(3082CAP13. 从 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个9,2104 位偶数的概率。解： 90145102839P14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率：（1）6 人中至少有 1 人生日在 10 月份；（2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月

7、份；（3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份；解：（1） ； （2） ；1.026P061.1264CP（3） 73.641C15. 从一副扑克牌（52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2 张花色相同的概率。解：或602.35219414CP 602.135214CP习题 1.21. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令 “取到的是 等品”，iAi3,21i。9.06)()()(33131APP2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件

8、不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”AB51)(1)(|( 20624CAPBBP3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效的概率为 0.85，求（1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率；（2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率；（3） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。解：令 “系统（）有效” ， “系统（）有效”AB则 85.0)|(,93.0)(,2.)(

9、 APBP（1） )(862.0.92.1.)|()( A（2） 5.)()B（3） .93.0158)()|(BP4. 设 1)(0AP，证明事件 与 独立的充要条件是AB|B证：与 独立， 与 也独立。AA)(|(),|( BPBP|： 1)(01)(0AA又 )()|(,)|( PBPB而由题设 )()(|()|( AA即 )()()(1 BPBPA，故 与 独立。A5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有A发生的概率都是 ，求 和 .B41)(PB解： ，又 与 独立)(AB41)(1(P41)()()( BPABPA,2即 。1)(6. 证明 若 0， 0，则有)(

10、AP)(B（1） 当 与 独立时， 与 相容；A（2） 当 与 不相容时， 与 不独立。证明： 0)(,)(BPA（1）因为 与 独立，所以， 与 相容。)()(AB（2）因为 ，而 ，00)(P， 与 不独立。)()(BAP7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。C, BAC证明：因为 、 、 相互独立， )()(APBAP)()()( CPBC与 独立。BA8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，321,A那么 9.0)(

11、,8.)(,7.0)( 32APP令 表示最多有一台机床需要工人照顾，B那么 )() 321321321321 AA90. 1.087.0.79.08.87()()(321 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 ，)10(p（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。解：令 “系统（）正常工作” “系统（）正常工作”AB“第 个元件正常工作”，ii ni2,1相互独立。ni AP21,)(那么 )()2121 nnnA 注：利用第 7 题的方法可以证明 与)(iniA)(jnj时独立。j系统 I1 2 nn+1 n+2 2n系统 II1n+12n+2n2n