概率论与数理统计理工类,第四版吴赣昌主编课后习题答案第七章.doc

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2、,u=0.06. 因uu/2, 其中 u=nX, 求:(1)当 H0 成立时, 犯第一类错误的概率 0;(2)当 H0 不成立时(若 0), 犯第二类错误的概率 .解答：(1)XN(,1),XN(,1/n), 故 nX=uN(0,1). 0=Puu/2=0=1-P-u/2uu/2=1-(u/2)-(-u/2)=1-(1-2)-2=,即犯第一类错误的概率是显著水平 .(2)当 H0 不成立，即 0 时，犯第二类错误的概率为=Puu/2E(X)=P-u/2uu/2E(X)=P-u/2nXu/2E(X)=P-u/2-nn(X-)u/2-nE(X)=(u/2-n)-(-u/2-n).注 1 当 +或

3、-时，0. 由此可见，当实际均值 偏离原假设较大时，犯第二类错误的概率很小，检验效果较好.注 2 当 0 但接近于 0 时，1-. 因 很小，故犯第二类错误的概率很大，检验效果较差.7.2 单正态总体的假设检验习题 1已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N(4.55,0.1082). 现在测定了 9 炉铁水，其平均含碳量为 4.484.如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55(=0.05)?解答：本问题是在 =0.05 下检验假设H0:=4.55, H1:4.55.由于 2=0.1082 已知，所以可选取统计量U=X-4.550.108/9,在 H0 成立的条件下，

4、UN(0,1), 且此检验问题的拒绝域为U=X-4.550.108/9u/2,这里 u=4.484-4.550.108/9-1.833,u/2=1.96.显然 u=1.833t/2(n-1),这里 t=x-100s/n99.978-1001.2122/9-0.0544,t0.025(8)=2.306.显然 t=0.0544-1.6896,习题 6某种导线的电阻服从正态分布 N(,0.0052). 今从新生产的一批导线中抽取 9 根，测其电阻，得s=0.008, 对于 =0.05, 能否认为这批导线电阻的标准差仍为 0.005?解答：本问题是在 =0.05 下检验假设H0:2=0.0052, H

5、1:20.0052.选取统计量 2=n-12S2, 在 H0 成立的条件下，22(n-1),且此检验问题的拒绝域为2/22(n-1)或 216,n=9, s220.3611, 2=8s21610.181,=0.05, 0.052(8)=15.507.因 210.117, 故接受 H0, 认为 6.习题 9测定某种溶液中的水分，它的 10 个测定值给出 s=0.037%, 设测定值总体服从正态分布，2 为总体方差，2 未知，试在 =0.05 水平下检验假设：H0:0.04%,H1:3.325,未落入拒绝域，故接受 H0.7.3 双正态总体的假设检验习题 1制造厂家宣称，线 A 的平均张力比线 B

6、 至少强 120N, 为证实其说法，在同样情况下测试两种线各 50 条.线 A 的平均张力 x=867N, 标准差为 1=62.8N; 而线 B 的平均张力为 y=778N, 标准差为 2=56.1N.在 =0.05 的显著性水平下，试检验此制造厂家的说法.解答：H0:1-2=120,H1:1-20.属单边检验问题. 对给定的 =0.05, 拒绝域为W=x1-x2-0sw1n1+1n2t(n1+n2-2).由 x1=2.86,x2=2.075,s11.971,s21.167, 可计算出sw=(5-1)(1.971)2+(4-1)(1.167)25+4-21.674.查表得 t0.005(7)=

7、1.895. 算得t=2.86-2.075-01.67415+140.6992,n1=5,x=80.2,s18.585,n2=26,y69.15,s29.315,sw=48.5852+9.3152299.218, n1n2n1+n22.048,t=(80.2-69.15)9.2182.0482.455, =0.05,t0.05(29)=1.6991,因 tt0.05(29)=1.6991, 故拒绝 H0, 认为矮个子总统的寿命比高个子总统寿命长.习题 4在 20 世纪 70 年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA).到了 20 世纪 80 年代初期，人

8、们开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了分别在新、老两种过程中形成的NDMA 含量(以 10 亿份中的份数计):老过程 645565564674新过程 212210321013设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，但参数均未知. 两样本独立. 分别以 1,2 记对应于老、新过程的总体的均值，试检验假设(取 =0.05):H0:1-22,H1:1-22.解答：检验假设 H0:1-22,H1:1-22.设老过程中形成的 NDMA 含量为 XN(1,12), 新过程中形成的 NDMA 含量为 YN(2,22).已知 12=22=2, 但未知，n1=n2=12.采用 t 检验法，=0.05,

9、算得x=5.25, y=1.5, s120.9318, s22=1, sw0.9828,拒绝域为 W=x-y-2sw1n1+1n2t(n1+n2-2).查 t 分布表得 t0.05(22)=1.7171, 计算得5.25-1.5-20.98281/2+1/124.36161.7171,故拒绝 H0, 认为新、老过程中形成的 NDMA 平均含量差大于 2.习题 5有两台车床生产同一种型号的滚珠. 根据过去的经验，可以认为这两台车床生产的滚珠的直径都服从正态分布. 现要比较两台车床所生产滚珠的直径的方差，分别抽出 8 个和 9 个样品，测得滚珠的直径如下(单位:mm).甲车床 xi:15.0 14

10、.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8乙车床 yi:15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8问乙车床产品的方差是否比甲车床的小(=0.05)?解答：以 X,Y 分别表示甲，乙二车床产品直径.XN(1,12),YN(2,22),X,Y 独立. 检验假设 H0:12=22,H1:22F(n1-1,n2-1).查 F 分布表得 F0.05(8-1,9-1)=3.50.计算 F 值 F=s12/s22=0.0955/0.02613.66.因为 3.663.50, 故应否定 H0, 即认为乙车床产品的直径的方差比甲车床的小.习题

11、6某灯泡厂采用一项新工艺的前后，分别抽取 10 个灯泡进行寿命试验. 计算得到:采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为 2460 小时. 样本标准差为 56 小时；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为 2550 小时，样本标准差为 48 小时. 设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(=0.01)?解答：(1)检验假设 H0:12=22, H1:1222.应选取检验统计量 F=S12/S22, 若 H0 真, 则 FF(m-1,n-1);对于给定的检验水平 =0.01, 查自由度为(9,9)的 F 分布表得F0.005(9,9)=6.54;已知 m=n=10,s1=5

12、6,s2=48, 由此得统计量 F 的观察值为F=562/4821.36;因为 F-2.55;已知 m=n=10,x=2460,y=2550,s1=56,s2=48, 由此得统计量 T 的观测值为 T-3.86;因为 t0,zi=xi-yi=0,1,3,2,1,2,-1,2,n=8,=0.05, 算得 z=1.25,s=1.282.拒绝域为 W=z-0s/nt(n-1).查 t 分布表得 t0.05(7)=1.8946. 计算 t 值t=1.251.282/8=2.7551.8946,故否定 H0, 认为早晨比晚上身高要高.习题 8用 5 个含铁物质的样本做实验，以决定化学分析和 X 光分析对

13、铁含量大小是否有差异. 每个样本分为两个小样本，以两种分析方法做对比实验，得到如下数据:样本 i 1 2 3 4 5X 光分析 xi 2.0 2.0 2.3 2.1 2.4化学分析 yi 2.2 1.9 2.5 2.3 2.4假设两总体均服从正态分布，试在 =0.05 的显著性水平下，检验两种分析方法所得的平均值是否相同.解答：用同一块样本一分为二，用两种分析方法做对比试验，其数据之差即反映了两种分析方法的差异.设差值 Z 服从正态分布，ZN(z,z2), 其取值为zi=xi-yi -0.2 0.1 -0.2 -0.2 0 若两种方法无差异，则 z=0. 检验假设H0:z=0,H1:z0.由已

14、知数值算得 z=-0.1,sz0.141,n=5.=0.05, 查 t 分布表得 t0.025(5-1)=2.776, 所以拒绝域为W=t2.776 或 t-2.776,故接受 H0:z=0, 即在 =0.05 下，认为两种分析方法所得的均值结果相同.7.4 关于一般总体数学期望的假设检验习题 1设两总体 X,Y 分别服从泊松分布 P(1),P(2), 给定显著性水平 , 试设计一个检验统计量，使之能确定检验H0:1=2,H1:12的拒绝域，并说明设计的理论依据.解答：因非正态总体，故宜用大样统计，设X=1n1i=1n1Xi,S12=1n1-1i=1n1(Xi-X)2;Y=1n2i=1n2Yi

15、,S22=1n2-1i=1n2(Yi-Y)2.because (X-Y)-(1-2)S12n1+S22n2N(0,1)可选用样本函数 u=(X-Y)-(1-2)S12n1+S22n2 作为拒绝域的检验统计量.习题 2设某段高速公路上汽车限制速度为 104.6km/h, 现检验 n=85 辆汽车的样本，测出平均车速为x=106.7km/h, 已知总体标准差为 =13.4km/h, 但不知总体是否服从正态分布. 在显著性水平=0.05 下，试检验高速公路上的汽车是否比限制速度 104.6km/h 显著地快？解答：设高速公路上的车速为随机变量 X, 近似有XN(,2),=13.4km/h,要检验假设H0:=0=104.6,H1:104.6.=0.05,n=85,u=u0.05=1.645.拒绝域 W=u=x-0/nu.由 x=106.7,=13.4,0=104.6,n=85 得u=106.7-104.613.4/851.441.645.因为 1.441.645, 所以接受 H0, 即要 =0.05 显著性水平下，没有明显的证据说明汽车行驶快于限制速度.习题 3某药品广告上声称该药品对某种疾病和治愈率为 90%, 一家医院对该种药品临床使用 120 例，治愈 85 人，问该药品广告是否真实(=0.02)?