1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题六 平面向量的运算平面向量的线性运算【背一背基础知识】1.向量的线性运算向量运算 定义 法则( 或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则(1)交换律： ab ；(2)结合律：( +()c ) 减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a 与 b 的差 三角形法则来源:Zxxk.Com2.向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 a，它的长度与方向规定如下：|a| |a|；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 00 90；ab0 90；ab090 1
2、80.特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线（5） 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线) 的充要条件：ab ab x1y2x 2y10(b0)（6）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：ab ab0 x1x2y 1y20. 学=科网来源:学|科| 网 Z|X|X|K（7）与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识2.典型例题例 1.【2018 年理数全国卷 II】已知向量 ， 满足 ， ，则A. 4 B. 3
3、C. 2 D. 0【答案】B【解析】因为 所以选 B.例 2.【2018 年天津卷文】在如图的平面图形中，已知 , 则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】如图所示，连结 MN，由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三 等分点，则 ，由题意可知： ， ，结合数量积的运算法则可得： .本题选择 C 选项.例 3.【2018 年理新课标 I 卷】设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于M，N 两点，则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【练一练能力提升】一、选择题（12*5=60 分）1 M是 ABC边 上的中点，记 BCa， A
4、b，则向量 MC（ ）A. 2abB. 12ab C. 12 D. 12【答案】C【解析】由题意得 B， 12MCab选 C2已知向量 3,0,，则向量 a与 b 的夹角为（ ）A. 6 B. 5C. 3 D. 2【答案】B【解析】 由32cos,1ab，所以向量 a与 b的夹角为 56，故选 B.3设向量 1,2,若向量 ab与向量 垂直,则 的值为A. 4 B. 1 C. -1 D. -5【答案】D【解析】由已知得 ab(1，2)，向量 ab 与向量 a 垂直，所以（ab）a0.(1)1(2)20，解得 5.故选 D.4 【2018 年浙江卷】已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若
5、非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足b24eb+3=0，则| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】设 ，则由 得 ，由 得 因此 的最小值为圆心 到直线的距离 减去半径 1，为 选 A.5 【2018 届福建省漳州市高三上学期期末】已知 1a， 2b，且 ab，则向量 a在 b方向上的投影为（ ）A. 1 B. 2 C. 1 D. 2【答案】D【解析】设 a与 b的夹角为 a， 20ababA2cos0bAcs向量 a在 b方向上的投影为 2cosaA故选 D.6 【2017 课标 II，文 4】设非零向量 ， b满足 +=-ba则来源:学,科
6、,网 Z,X,X,KA.a b B. =ba C. a D. 【答案】A【解析】由 |ab平方得222()()()abab，即 0ab，则 b，故选 A.7 【2018 届河北省武邑中学高三上学期期末】设 为锐角， sin,1,，若 a与 共线，则角 （ ）A. 15 B. 30 C. 45 D. 60【答案】B【解析】由题意 2sin1， si2，又 为锐角， 30故选 B8在ABC 中，C=90， BCA，则 B与 C的夹角是 ( )A. 30 B. 60 C. 120 D. 150【答案】C【解析】 如图，来源:Z。xx。k.Com作向量 ADBC，则 A是 B与 C的夹角，在ABC 中，因为 90， 12，所以 6，所以 12BA选 C9 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底】如图，在等腰梯形 中， ，于点 ，则 （ ）A BC D【答案】A【解析】因为 ，所以 是 的中点，可得，故选 .10 【山东省滨州市 2019 届高三期末】设 为 所在平面内一点，若 ， ，则（ ）A-2 B C D2【答案】A【解析】，故选 A.11已知向量 p，q 满足|p|= ，|q|=3，p，q 的夹角为 ，如图，若 ， ，为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以，故选 D.
