(精品)一元二次方程解法及其配套练习-精心整理-方法全面-例题经典-练习给力!.doc

1、一元二次方程解法及其配套练习王轩辕（QQ：1572236205）定义：只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a 0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（ a0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 解法一 直接开方法适用范围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，

2、其解为 x=mn我们已经讲了 x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得 x=3，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1） 2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。例 1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x 2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（ x+2） 2=1解：(2)由已知，得：（x+3） 2=2直接开平方，得：x+3=即 x+3= 2，x+3=-所以，方程的两根 x1=-3+ 2，x 2=-3-例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2 提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率

3、分析：设每年人均住房面积增长率为 x 一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（ 1+x） ；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x） 2解：设每年人均住房面积增长率为 x，则：10（1+x） 2=14.4（1+x） 2=1.44直接开平方，得 1+x=1.2即 1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2 应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为 20%例 3 如图，在ABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以1cm/s的

4、速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P 、Q 都从 B 点同时出发，几秒后 PBQ 的面积等于 8cm2？BCAQP解： 设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2则 PB=x，BQ=2x依题意，得： 12x2x=8x2=8根据平方根的意义，得 x=2即 x1=2 ，x 2=-2可以验证，2 和-2 都是方程 12x2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值所以 2 秒后PBQ 的面积等于 8cm2例 4某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析

5、：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x， 那么二月份的营业额就应该是（1+x） ，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x） 2解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x那么 1+（1+x ）+（1+x） 2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+ 12） 2=2.56，即（x+ 3） 2=256x+ 3=1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.6方程的根为 x1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程 我们把这种思想称为“降次转化思想”

6、由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0） ，那么 x= p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n） 2=p（p0） ，那么 mx+n= ，达到降次转化之目的若 p0 则方程无解配套练习题一、选择题1若 x2-4x+p=（x+q ） 2，那么 p、q 的值分别是（ ） Ap=4 ，q=2 Bp=4 ，q=-2 Cp=-4， q=2 Dp=-4，q=-22方程 3x2+9=0 的根为（ ） A3 B-3 C3 D无实数根3用配方法解方程 x2- x+1=0 正确的解法是（ ） A （x- 1） 2= 89，x= 3 B （x- 13） 2=- 89，原方程无解C （x- ） 2= 5，x 1=

7、+ ，x 2= 5 D （x- ） 2=1，x 1= 53，x 2=-二、填空题1若 8x2-16=0，则 x 的值是_2如果方程 2（x-3） 2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_3如果 a、b 为实数，满足 34a+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_三、综合提高题1解关于 x 的方程（x+m） 2=n2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m） ， 另三边用木栏围成，木栏长 40m（1）鸡场的面积能达到 180m2 吗？能达到 200m 吗？（2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？3在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一

8、个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框， 并说明你制作的理由吗？解法二配方法适用范围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2,场地的长和宽各是多少？列出方程化简后得：x 2+6x-16=0x2+6x-16=0 移项x 2+6x=16两边加（6/2） 2 使左边配成 x2+2bx+b2 的形式 x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 （x+3） 2=25 降次x+3=5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8 都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为

9、2m，常为 8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q0，方程的根是 x=-pq；如果 q0,方程无实根用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当例 1用配方法解下列关于 x 的方程（1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-

10、2x- 1=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上解：略例 2如图，在 RtACB 中，C=90，AC=8m ，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s， 几秒后PCQ的面积为 Rt ACB 面积的一半BCAQP分析：设 x 秒后PCQ 的面积为 RtABC 面积的一半，PCQ 也是直角三角形根据已知列出等式解：设 x 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半根据题意，得： 12（8-x） （6-x ）= 12 86整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）

11、 2=25 即 x1=12，x 2=2x1=12，x 2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去所以 2 秒后PCQ 的面积为 RtACB 面积的一半例 3解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3） （1+x） 2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全平方解：略例 4用配方法解方程（6x+7） 2（3x+4） （x+1 ）=6分析：因为如果展开（6x+7） 2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7） 2=y2，其它的 3x+4= 1（6x+7）

12、+ 2，x+1= 16（6x+7）- ，因此，方程就转化为 y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法解：设 6x+7=y则 3x+4= 12y+ ，x+1= 6y-依题意，得：y 2（ 1y+ ） （ 6y- 1）=6去分母，得：y 2（y+1） （y-1 ）=72y2（y 2-1）=72 ， y4-y2=72（y 2- ） 2= 89y2- 1= 7y2=9 或 y2=-8（舍）y=3当 y=3 时，6x+7=3 6x=-4 x=- 23当 y=-3 时，6x+7=-3 6x=-10 x=- 5所以，原方程的根为 x1=- ，x 2=-例 5. 求证:无论 y 取何值时,代数式 -3 y2

13、+8y-6 恒小于 0.解：略配套练习题一、选择题1配方法解方程 2x2- 43x-2=0 应把它先变形为（ ） A （x- ） 2= 89 B （x- ） 2=0C （x- ） 2= D （x- 1） 2= 092下列方程中，一定有实数解的是（ ） Ax 2+1=0 B （2x+1） 2=0 C （2x+1） 2+3=0 D （ 12x-a）2=a3已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是（ ） A1 B2 C-1 D-24将二次三项式 x2-4x+1 配方后得（ ） A （x-2） 2+3 B （x-2） 2-3 C （x+2） 2+3 D （x+2 ）

14、2-35已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax 2-8x+（-4） 2=31 Bx 2-8x+（-4） 2=1Cx 2+8x+42=1 Dx 2-4x+4=-116如果 mx2+2（3-2m） x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m等于（ ） A1 B-1 C1 或 9 D-1 或 9二、填空题1方程 x2+4x-5=0 的解是_2代数式21x的值为 0，则 x 的值为_3已知（x+y） （x+y+2）-8=0，求 x+y 的值，若设 x+y=z，则原方程可变为_，所以求出 z 的值即为 x+y 的值，所以 x+y 的

15、值为_4如果 x2+4x-5=0，则 x=_5无论 x、y 取任何实数，多项式 x2+y2-2x-4y+16 的值总是_数6如果 16（x-y） 2+40（x-y）+25=0，那么 x 与 y 的关系是_三、综合提高题1用配方法解方程（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2+3=2 3x2已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x2-4x+3=0 的解，求这个三角形的周长3如果 x2-4x+y2+6y+ z+13=0，求（xy） z 的值4新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元， 市场调研表明： 当销售价为2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降 50 元时

16、，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？5已知：x 2+4x+y2-6y+13=0，求 2xy的值6某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案解法三公式法适用范围：可解全部一元二次方程首先，要通过 =b2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1

17、.当 =b2-4ac0 时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于 2、3 两种情况方程有根则可根据公式：x=-b （b24ac） /2a 来求得方程的根求根公式的推导用配方法解方程 （1） ax27x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a0） ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知 ax2+bx+c=0（ a0） ，试推导它的两个根 x1=24bac，x 2=24bac(这个方程一定有解吗 ?什么情况下有解？ )分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、

18、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为 1，得 x2+ bax=- c配方，得：x 2+ x+（ ） 2=- +（ ） 2即（x+ ba） 2= 4c4a 20，4a2 0, 当 b2-4ac0 时24ac0（x+ a） 2=( c)2直接开平方，得：x+ b= 4a 即 x=24bacx 1=24bac，x 2=2c由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac0 时，将 a、b、c 代入

19、式子 x=24bca就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1用公式法解下列方程（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x2- x+ 1=0 （4）4x 2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补:（5） （x-2） （3x-5）=0例 2某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2mx+（m

20、-2）x-1=0 提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程（2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？分析：能 （1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）0（2）要使它为一元一次方程，必须满足:21()0m或210或 102解：（1）存在根据题意，得：m 2+1=2m2=1 m=1当 m=1 时，m+1=1+1=20当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1） 2-42（-1）=1+

21、8=9x= (1)934x1=，x 2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x 2=- （2）存在根据题意，得：m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当 m=0 时， （m+1 ） +（m-2）=2m-1=-10所以 m=0 满足题意当 m2+1=0，m 不存在当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-30所以 m=-1 也满足题意当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1当 m=-1 时，一元一次方程是 -3x-1=0解得 x=- 13因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1 时，其一元

22、一次方程的根为 x=- 13配套练习题一、选择题1用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（ ） Ax= 36 Bx= 36 Cx= 2 Dx= 22方程 x2+4 3x+6 =0 的根是（ ） Ax 1= ，x 2= Bx 1=6，x 2=Cx 1=2 ，x 2= Dx 1=x2=- 63 （m 2-n2） （m 2-n2-2）-8=0，则 m2-n2 的值是（ ） A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2二、填空题1一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的求根公式是_，条件是_2当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4 3若关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m

23、2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_三、综合提高题1用公式法解关于 x 的方程：x 2-2ax-b2+a2=02设 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根， （1）试推导 x1+x2=-ba，x 1x2= c；（2） 求代数式 a（x 13+x23）+b（x 12+x22）+c（x 1+x2）的值3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时， 那么这户居民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 10元收费（1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超

24、过部分电费为多少元？（ 用 A 表示）（2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）3 80 254 45 10根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？解法四分解因式法适用范围：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。解下列方程（1）2x 2+x=0 （2）3x 2+6x=0上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1） ，3x 2+6x=3x（x+2）因此，

25、上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2 ）=0因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是：（1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x 2=- （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x 2=-2因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例 1解方程（1）4x 2=11x （2） （x-2 ） 2=2x-4分析：（1）移项提取公因式 x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4 提取-2 因式

26、，即-2（x-2） ，再提取公因式 x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积， 另一边为0 的形式解：（1）移项，得：4x 2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0 或 4x-11=0x1=0，x 2= 4（2）移项，得（x-2） 2-2x+4=0（x-2） 2-2（x-2 ）=0因式分解，得：（x-2） （ x-2-2）=0整理，得：（x-2） （x-4）=0于是，得 x-2=0 或 x-4=0x1=2，x 2=4例 2已知 9a2-4b2=0，求代数式 的值2ab分析：要求 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出2aba 与 b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误解：原式=22baba9a 2-4b2=0（3a+2b） （3a-2b）=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0，a=- b 或 a= b3