1、第 1 页 共 4 页高中数学第十三章- 极极 限限考试内容：教学归纳法数学归纳法应用数列的极限函数的极限根限的四则运算函数的连续性考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（2）了解数列极限和函数极限的概念（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质13. 极极 限限 知识要点知识要点1. 第一数学归纳法：证明当 n取第一个 0时结论正确；假设当 kn（ 0,nkN）时，结论正确，证明当 1k时，结论成立.第二数学归纳法：设 )(nP是一个与正整数 n有关的命题，如果当 0n（ N）
2、时， 成立；假设当 k（ 0,nk）时， )(nP成立，推得 1kn时， )(nP也成立.那么，根据对一切自然数 时， 都成立.2. 数列极限的表示方法： anlim当 时， n.几个常用极限： Cnlim（ 为常数） ),(01li是 常 数kNk对于任意实常数，当 1|a时， limna第 2 页 共 4 页当 1a时，若 a = 1，则 1limna；若 ，则 nna)1(limli不存在当 时， nli不存在数列极限的四则运算法则：如果 bannlim,li，那么 b)(li annli )0(limb特别地，如果 C 是常数，那么 aannnlili)(li.数列极限的应用：求无穷数
3、列的各项和，特别地，当 1q时，无穷等比数列的各项和为 )1(qaS.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；当自变量 x无限趋近于常数 0x（但不等于 0x）时，如果函数 )(xf无限趋进于一个常数 a，就是说当 趋近于 0时，函数 )(f的极限为 a.记作 afxlim0或当 0时， xf)(.注：当 x时， )(f是否存在极限与 )(xf在 处是否定义无关，因为 并不要求0x.（当然， 在 0x是否有定义也与 在 0处是否存在极限无关. 函数 )(xf在有定义是 )(lim0fx存在的既不充分又不必要条件.）如 1)(P在 x处无定义，但 )(li
4、m1xP存在，因为在 1x处左右极限均等于零.函数极限的四则运算法则：如果 bxgaxf)(lim,)(li00 ，那么 fxli0 bagf)(li0第 3 页 共 4 页 )0()lim0baxgf特别地，如果 C 是常数，那么 )(li)(li00 xffx.nxnfflimli00（ N）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限： 01limxn a（ 0 a1 ） ； 0limxa（ 1） sil0xsinl0x ex)1(lim， ex10)(li（ 71823.）4. 函数的连续性：如果函数 f（ x） ，g（x）
5、在某一点 0x连续，那么函数)(),(),() ffxf在点 处都连续.函数 f（x）在点 0x处连续必须满足三个条件：函数 f（x）在点 处有定义； )(lim0xf存在；函数 f（x）在点 0x处的极限值等于该点的函数值，即 )(li0xffx.函数 f（x）在点 处不连续（间断）的判定：如果函数 f（x）在点 0x处有下列三种情况之一时，则称 0x为函数 f（x ）的不连续点.f（x）在点 处没有定义，即 )(0xf不存在； )(lim0fx不存在； )(lim0xf存在，但)(lim00xffx.5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：零点定理：设函数 ）（ xf在闭区间 ,ba上连续，且
6、 0)(bfa.那么在开区间 ),(ba内至第 4 页 共 4 页少有函数 )(xf的一个零点，即至少有一点 （ a b）使 0)(f.介值定理：设函数 )(xf在闭区间 ,b上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf)(,)(，那么对于 BA,之间任意的一个数 C，在开区间 ),(ba内至少有一点 ，使得 C（ ）.夹逼定理：设当 |0x时，有 )(xg f )(xh，且 Axhgx)(lim)(li00 ，则必有 .)(lim0Axf注： |：表示以 0x为的极限，则 |0x就无限趋近于零 .（ 为最小整数）6. 几个常用极限： 1,0limqn )(!lian kk,10li为常数） limn kk,0()(li为常数）
