1、1 页2015-2016 学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一(上)期中数学试卷一、填空题(每小题 5 分,14 题,共 70 分,请将正确答案填写在答题卷相应的横线上)1设全集 A=0,1,2,B=1,0,1,则 AB= 2已知 f(2x)=6x 1,则 f(x)= 3已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,16) ,则函数 f(x)的解析式是 4已知函数 f(x)=,则 ff() 的值是 5函数 y=的定义域是 6设 a=log0.60.9,b=ln0.9,c=2 0.9,则 a、b、c 由小到大的顺序是 7函数 f(x)=的递减区间是 8已知 lg2=a,lg3=b,用 a,b 表示
2、log65= 9函数的值域为 10已知 f(x)是定义在集合 x|x0上的偶函数,x0 时 f(x)=x+,则 x0 时 f(x)= 11设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 PQ=x|xP,且 xQ,如果 P=x|log2x1 ,Q=x|x 2|1 ,那么PQ 等于 12若函数 f(x)是偶函数,且在( 0,+ )内是增函数,又 f( 3)=0则 xf(x)0 的解集是 13函数 f(x)=|x 22x|a 有四个零点,则实数 a 的取值范围是 14已知函数 f(x)=,若当 t0,1时,f (f(t) )0,1,则实数 t 的取值范围是 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分,解答
3、时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15计算:(1)(2) (lg5) 2+lg2lg5016设集合 A=x|y=log2(x1),B=y|y=x 2+2x2,xR(1)求集合 A,B;(2)若集合 C=x|2x+a0,且满足 BC=C,求实数 a 的取值范围17某厂生产一种机器的固定成本(即固定收入)为 0.5 万元,但每生产一台,需要增加可变成本(即另增加收入)0.25 万元市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为(万元) (0x5) 其中 x是产品售出的数量(单位:百台)(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?18已知函数 f(x)=x 2
4、2ax+5(a1) (1)若 f(x)的定义域和值域均是 1,a,求实数 a 的值;2 页(2)若 f(x)在区间(,2上是减函数,且对任意的 x1,a+1,总有 f(x)0,求实数 a 的取值范围19已知定义域为 R 的函数 f(x)=是奇函数(1)求 a,b 的值; (2)判断函数的单调性并证明;(3)若对任意的 tR,不等式 f(t 22t)+f(2t 2k)0 恒成立,求 k 的取值范围20对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,如果存在区间m , nD,同时满足:f(x)在m,n 内是单调函数;当定义域是m,n时,f (x)的值域也是m,n则称m,n是该函数的“ 和谐区间 ”(1)
5、证明:0,1 是函数 y=f(x)=x 2 的一个“和谐区间 ”(2)求证:函数不存在“和谐区间”(3)已知:函数(aR,a 0)有“ 和谐区间”m,n,当 a 变化时,求出 nm 的最大值3 页2015-2016 学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(每小题 5 分,14 题,共 70 分,请将正确答案填写在答题卷相应的横线上)1设全集 A=0,1,2,B=1,0,1,则 AB= 1,0,1,2 【考点】并集及其运算【分析】直接利用并集运算得答案【解答】解:A=0 ,1,2,B=1,0,1 ,则 AB=0,1,21,0,1= 1,0,1,2 故答
6、案为: 1,0,1,22已知 f(2x)=6x 1,则 f(x)= 3x1 【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式,注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别【解答】解:由 f(2x)=6x 1,得到 f(2x)=3(2x )=3(2x)1故 f(x)=3x 1故答案为:3x13已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2,16) ,则函数 f(x)的解析式是 f (x)=x 4 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】由已知得 2a=16,解得 a=4,由此求出 f(x)=x 4【解答】解:幂函数 y=f(x)=x a 的图象经过
7、点(2,16) ,2a=16,解得 a=4,f( x)=x 4故答案为:f(x)=x 44已知函数 f(x)=,则 ff() 的值是 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值【分析】先求,故代入 x0 时的解析式;求出=2,再求值即可【解答】解:,4 页故答案为:5函数 y=的定义域是 (,3 【考点】函数的值域【分析】根据对数函数单调性和二次根式的意义,求得范围【解答】解:由题意得 2x5 0,且 log0.5(2x5)0=log 0.51,即 x且,2x5 1,解得x3,故答案为:(,36设 a=log0.60.9,b=ln0.9,c=2 0.9,则 a、b、c 由小到大的顺序
8、是 bac 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性即可得出【解答】解:0a=log 0.60.9log 0.60.6=1,b=ln0.90, c=20.91,b ac故答案为:bac 7函数 f(x)=的递减区间是 ( ,3 【考点】函数的单调性及单调区间【分析】令 t=x2+2x30,求得函数的定义域,且 f(x)= ,本题即求函数 t 在定义域内的减区间,结合二次函数 t=x2+2x3 的性质可得 t 在定义域内的减区间【解答】解:令 t=x2+2x30,可得 x3,或 x1,故函数的定义域为( ,31,+) ,且 f(x)=,故本题即求函数 t 在定义域内的减区间结合二次函
9、数 t=x2+2x3 的性质可得 t 在定义域内的减区间为(, 3,故答案为:(, 38已知 lg2=a,lg3=b,用 a,b 表示 log65= 【考点】对数的运算性质【分析】利用换底公式将 log65 用 lg2 与 lg3 表示出来,再换成用字母 a,b 表示即可得【解答】解:log 65=,又由已知 lg2=a,lg3=b,故 log65=,故答案为 9函数的值域为 (,1 【考点】函数的值域【分析】先确定函数的定义域,再考查函数在定义域内的单调性,根据函数的单调性来确定函数的值域5 页【解答】解:函数的定义域是(,1,且在此定义域内是增函数,x=1 时,函数有最大值为 1,x时,函
10、数值 y,函数 的值域是( ,1 故答案为:(,110已知 f(x)是定义在集合 x|x0上的偶函数,x0 时 f(x)=x+,则 x0 时 f(x)= x 【考点】函数奇偶性的性质【分析】由偶函数的性质及对称性得到 x0 时,f(x)=(x)+,由此能求出结果【解答】解:f(x)是定义在集合 x|x0上的偶函数,x0 时,f(x)=x+ ,由偶函数的性质得:x0 时,f(x)=f(x)= (x)+=x故答案为:11设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 PQ=x|xP,且 xQ,如果 P=x|log2x1 ,Q=x|x 2|1 ,那么PQ 等于 (0,1 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】
11、根据对数函数的定义域及单调性求出集合 P 中的不等式的解集,求出集合 Q 中的绝对值不等式的解集,然后根据题中的新定义即可求出 PQ【解答】解:由集合 P 中的不等式 log2x1=log 22,根据 21 得到对数函数为增函数及对数函数的定义域,得到 0x2,所以集合 P=(0,2) ;集合 Q 中的不等式|x 2|1 可化为:,解得 1x3,所以集合 Q=(1,3) ,则 PQ=(0,1故答案为:(0,112若函数 f(x)是偶函数,且在( 0,+ )内是增函数,又 f( 3)=0则 xf(x)0 的解集是 (,3)(0,3) 【考点】奇偶性与单调性的综合6 页【分析】先利用 f(x)是偶
12、函数单调性在对称区间上相反,分析出函数的单调性,结合 f( 3)=0,分析出函数在各个区间上的符号,进而得到 xf(x)0 的解集【解答】解:函数 f(x)是偶函数,且在( 0,+)内是增函数,f( x)在(,0)内是减函数又 f(3)=f( 3)=0f( x)0 的解集是(3,3) ,f (x)0 的解集是( ,3) , (3,+)xf(x )0 的解集为(,3)(0,3)故答案为:(, 3)(0,3)13函数 f(x)=|x 22x|a 有四个零点,则实数 a 的取值范围是 (0,1) 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题,作出函数的图象得到 a 的
13、范围【解答】解:令 f(x)=|x 22x|a=0,得 a=|x22x|,作出 y=|x22x|与 y=a 的图象,要使函数 f(x)=|x 22x|a 有四个零点,则 y=|x22x|与 y=a 的图象有四个不同的交点,所以 0a1,故答案为:(0,1) 14已知函数 f(x)=,若当 t0,1时,f (f(t) )0,1,则实数 t 的取值范围是 log 3,1 【考点】分段函数的应用【分析】通过 t 的范围,求出 f(t )的表达式,判断 f(t)的范围,然后代入已知函数,通过函数的值域求出 t 的范围即可【解答】解:因为 t0,1,所以 f(t)=3 t1,3 ,又函数 f(x)=,所
14、以 f(f (t) ) =3(不成立)或 f(f(t)= 3t,因为 f(f (t) ) 0,1,所以 03t1,即3 t3,解得:log 3t1,又 t0,1,所以实数 t 的取值范围log 3,1 7 页故答案为:log 3,1 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15计算:(1)(2) (lg5) 2+lg2lg50【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值【分析】 (1)利用指数与对数的运算法则即可得出;(2)利用对数的运算法则、lg2+lg5=1 即可得出【解答】解:(1)原式= +3+1=4+1+3+1=8(2)原式=lg
15、25+lg2(1+lg5)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=116设集合 A=x|y=log2(x1),B=y|y=x 2+2x2,xR(1)求集合 A,B;(2)若集合 C=x|2x+a0,且满足 BC=C,求实数 a 的取值范围【考点】对数函数的定义域;并集及其运算;函数的值域【分析】 (1)集合 A 即函数 y=log2(x1)定义域,B 即 y=x2+2x2,xR 的值域(2)先求出集合 C,由 BC=C 可得 BC,1,解不等式得到实数 a 的取值范围【解答】解:(1)A=x|y=log 2(x1)=x|(x1)0= (1,+) ,B=y|y=x2+2x2,xR=y
16、|y=(x1) 21,x R=(,1(2)集合 C=x|2x+a0=x|x,BC=C,BC, 实数 a 的取值范围( ,2) 17某厂生产一种机器的固定成本(即固定收入)为 0.5 万元,但每生产一台,需要增加可变成本(即另增加收入)0.25 万元市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为(万元) (0x5) 其中 x是产品售出的数量(单位:百台)(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?【考点】函数模型的选择与应用8 页【分析】 (1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其成本 C(x)之差,由题意,当x5 时,产品能够全部售
17、出,当 x5 时,只能销售 500 台,由此能把利润表示为年产量的函数(2)当 0x5 时,当(百台)时, ymax=10.78125(万元) ;当 x5(百台)时,y120.25 5=10.75(万元) 由此能求出年产量是多少时,工厂所得利润最大【解答】解:(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其成本 C(x)之差,由题意,当 x5 时,产品能够全部售出,当 x5 时,只能销售 500 台,所以,整理,得,(2)当 0x5 时,当(百台)时,ymax=10.78125(万元) ;当 x5(百台)时,y120.25 5=10.75(万元) 综上所述,当生产 475
18、台时,工厂所得利润最大18已知函数 f(x)=x 22ax+5(a1) (1)若 f(x)的定义域和值域均是 1,a,求实数 a 的值;(2)若 f(x)在区间(,2上是减函数,且对任意的 x1,a+1,总有 f(x)0,求实数 a 的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】 (1)由 f(x)的对称轴是 x=a 知函数在1 ,a 递减,根据定义域和值域均为1,a,列出方程组即可求得 a 值;(2)由 f(x)在区间(,2上是减函数得 a2,由函数在区间1,a+1上总有 f(x)0,可得,解得 a的取值范围即可【解答】解:(1)f(x)=(x a) 2+5a2(a1) ,f( x)在1,a 上是
19、减函数,又定义域和值域均为1,a,即 ,解得 a=2(2)f (x)在区间(,2 上是减函数,a2,又 对任意的 x1,a+1,总有 f(x)0,即解得:a3,综上所述,a319已知定义域为 R 的函数 f(x)=是奇函数(1)求 a,b 的值; (2)判断函数的单调性并证明;(3)若对任意的 tR,不等式 f(t 22t)+f(2t 2k) 0 恒成立,求 k 的取值范围9 页【考点】函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明【分析】 (1)由 f(x)为 R 上的奇函数得 f(0)=0 ,f( 1)=f(1) ,解出方程可得 a,b 值;(2)由(1)知 f(x)= ,利用单调性定义可作出判
20、断;(3)由 f(x)的奇偶性可得, f(t 22t)+f (2t 2k)0 等价于 f(t 22t) f(2t 2k)=f(k2t 2) ,根据单调性可去掉符号“f” ,转化为函数最值解决即可;【解答】解:(1)因为 f(x )为 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即=0 ,解得 b=1,由 f( 1)=f ( 1) ,得,解得 a=2,所以 a=2,b=1,即有 f(x)= 为奇函数,故 a=2,b=1;(2)f(x)为 R 上的减函数,证明如下:由(1)知 f(x)= ,设 x1x 2,则 f(x 1) f(x 2)=( )()=,因为 x1x 2,所以0, +10,所以 f(x 1)
21、 f(x 2)0,即 f(x 1)f(x 2) ,所以 f(x)为减函数;(3)因为 f(x)为奇函数,所以 f(t 22t)+f (2t 2k)0 可化为 f(t 22t) f(2t 2k)=f(k2t 2) ,又由(2)知 f(x)为减函数,所以 t22tk2t 2,即 3t22tk 恒成立,而 3t22t=3,所以 k20对于定义域为 D 的函数 y=f(x) ,如果存在区间m , nD,同时满足:f(x)在m,n 内是单调函数;当定义域是m,n时,f (x)的值域也是m,n则称m,n是该函数的“ 和谐区间 ”(1)证明:0,1 是函数 y=f(x)=x 2 的一个“和谐区间 ”(2)求
22、证:函数不存在“和谐区间”(3)已知:函数(aR,a 0)有“ 和谐区间”m,n,当 a 变化时,求出 nm 的最大值【考点】函数单调性的性质【分析】 (1)根据二次函数的性质,我们可以得出 y=f(x)=x 2 在区间0,1上单调递增,且值域也为0,1满足“和谐区间”的定义,即可得到结论(2)该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明,即先假设区间m,n为函数的“ 和谐区间”,然后根据函数的性质得到矛盾,进而得到假设不成立,原命题成立10 页(3)设m,n 是已知函数定义域的子集,我们可以用 a 表示出 nm 的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性
23、质,可以得到答案【解答】解:(1)y=x 2 在区间 0,1上单调递增又 f(0)=0 ,f(1)=1,值域为0,1,区间 0,1 是 y=f(x)=x 2 的一个“和谐区间” (2)设m,n 是已知函数定义域的子集x0,m ,n(,0)或m,n(0,+) ,故函数在m,n 上单调递增若m,n是已知函数的“ 和谐区间 ”,则故 m、n 是方程的同号的相异实数根x23x+5=0 无实数根,函数 不存在 “和谐区间 ”(3)设m,n 是已知函数定义域的子集x0,m ,n(,0)或m,n(0,+) ,故函数在m,n 上单调递增若m,n是已知函数的“ 和谐区间 ”,则故 m、n 是方程,即 a2x2(a 2+a)x+1=0 的同号的相异实数根,m,n 同号,只须 =a2(a+3) (a1)0,即 a1 或 a3 时,已知函数有“和谐区间” m,n ,当 a=3 时,nm 取最大值
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