1、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项:符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设 是数列,下列命题中不正确的是 ( )nx(A) 若 ,则lima221lilimnnxa(B) 若 , 则21nxx(C)若 ,则li331lilinnx(D) 若 ,则31nxax(2) 设函数 在 内连续,其 2 阶导函数 的图形如右图所示,则曲线ffx的拐点个数为 ( )yfx(A) (B) (C) (D) 013(3) 设 ,函数 在 上连续,则22,Dyxxy,fxyD
2、( ),dfxy(A) 2cos 2sin40 04,sindco,sindfrrfrr (B) 2sin 2cos40 04d,i ,if f (C) 210,dxfy(D) d,x(4) 下列级数中发散的是( )(A) (B) 13n1ln()(C) (D) 2()ln1!n(5)设矩阵 , .若集合 ，则线性方程组 有无214aA21db1,2Axb穷多解的充分必要条件为 ( )(A) (B) ,ad,ad(C) (D) ,(6)设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中123,fxxPy2213y，若 则 在正交变换 下的标准形为( )123(,)Pe(,)Qe123(,)f xQ(A
3、) (B) 2yy(C) (D) 213213y(7) 若 为任意两个随机事件,则: ( )AB(A) (B)P PAB(C) (D) 2P2AB(8) 设总体 为来自该总体的简单随机样本 , 为样本均,XBm12,nX X值,则 ( )21niiE(A) (B)1n(C) (D)1mnm二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) 20l(cos)i_.x(10)设函数 连续， 若 则f20()()d,xft(1),5,(1)_.f(11)若函数 由方程 确定，则(,)zxy23exyz (0,)d_.z(12)设函数 是微分方程 的解，且
4、在 处取得极值 3，则()yx20y0x()_.yx(13)设 3 阶矩阵 的特征值为 ， 其中 E 为 3 阶单位矩阵，A,12,BA则行列式 _.B(14)设二维随机变量 服从正态分布 ，则(,)XY(,0;1)N0.PXY三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数 .若 与 在 时是3(ln(1)sin,()fxaxbgxck()fxg0x等价无穷小，求 的值.,bk(16)(本题满分 10 分)计算二重积分 ，其中(dDxy 22(,),.Dxyyx(17)(本题满分 10 分)为
5、了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设 为该商品的需求量，Q为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性 .P(0)(I) 证明定价模型为 ；1MCP(II) 若该商品的成本函数为 ，需求函数为 ，试由（I）2()60Q40QP中的定价模型确定此商品的价格.(18)(本题满分 10 分)设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点(fxI 0xI()yfx处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为 4，且 ，求0(,)x0x 2表达式.()fx(19)(本题满分 10 分)（I）设函数 可导，利用导数定义证明(,uxv()()();uxvxvux（II）设函数 可导，
6、，写出 的12),()nux 12nf f求导公式.(20) (本题满分 11 分)设矩阵 ，且 .10aA=3AO(I) 求 的值；(II)若矩阵 满足 ，其中 为 3 阶单位矩阵，求 .X22XEX(21) (本题满分 11 分)设矩阵 相似于矩阵 .0231aA1203bB=(I) 求 的值；,ab（II）求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵.P1A(22) (本题满分 11 分)设随机变量 的概率密度为 ,对 进行独立重复的观测,直到X2ln0,xfX第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 为观测次数Y(I)求 的概率分布；Y(II)求 . ()EY(23) (本题满分 11 分)设总体 的概率密度为 其中 为未知参数，X,1,(,)xfx0其 他 为来自该总体的简单随机样本.12n,(I)求 的矩估计量；(II)求 的最大似然估计量.
