2016中考数学：-几何与函数问题专题复习.doc

1、12016 中考数学专题讲座 几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【例 1】已知 ， ， （如图） 是射线24ABD， 90ABDBC E上的动点（点 与点 不重合） ， 是线段 的中点BCEME（1）设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义x yx域；（2）如果以

2、线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，求线段 的长；（3）联结 ，交线段 于点 ，如果以 为顶点的三角形与 相BDANAD， ， BME似，求线段 的长E【思路点拨】 （1）取 中点 ，联结 ；（2 ）先求出 DE; （3 ）分二种情况ABHM讨论。【例 2】 （山东青岛）已知：如图（1） ，在 中， ， ，RtACB 904cmAC，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 1cm/s；点 由 出发沿3cmBCP Q方向向点 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 若设运动的时间为 （ ） ，APQ(s)t2t解答下列问题：（1）当 为何值时， ？tQBC（2）设 的面积为 （ ） ，求

3、与 之间的函数关系式； y2cmyt（3）是否存在某一时刻 ，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分？若存在，tRACB求出此时 的值；若不存在，说明理由；t（4）如图（2） ，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存P QPQC在某一时刻 ，使四边形 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明tC理由BA DME C BA DC备用图A Q CPBA Q CPB2图（1） 图（2）【思路点拨】 （1）设 BP 为 t， 则 AQ = 2t，证 APQ ABC；（2）过点 P 作PH AC 于 H（3）构建方程模型，求 t； （4）过点 P 作 PM AC 于 ， PN BC 于

4、 N，若四边形PQP C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应 t 的值。【例 3】 （山东德州）如图（1）,在 ABC 中， A90， AB4， AC3， M 是 AB 上的动点（不与 A， B 重合） ，过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作 O，并在 O 内作内接矩形 AMPN令 AM x （1）用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S； （2）当 x 为何值时， O 与直线 BC 相切？ （3）在动点 M 的运动过程中，记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？图（1） 图

5、（2） 图（3）【思路点拨】 （1）证 AMN ABC；（2）设直线 BC 与 O 相切于点 D，连结AO， OD，先求出 OD（用 x 的代数式表示） ，再过 M 点作 MQ BC 于 Q，证 BMQBCA； （3 ）先找到图形娈化的分界点， 2。然后 分两种情况讨论求 的最大值： xy当 0 2时， 当 2 4 时。x AB CM NDOAB CM NPO AB CM NP O3【学力训练】1、 （山东威海） 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD ， AB 7， CD 1， AD BC 5点 M， N 分别在边 AD， BC 上运动，并保持MNAB ， MEAB ， NFAB ， 垂足分别

6、为 E， F（1）求梯形 ABCD 的面积； （2）求四边形 MEFN 面积的最大值 （3）试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由 2、 （浙江温州市）如图，在 中， ， ， ，RtABC 906AB8C分别是边 的中点，点 从点 出发沿 方向运动，过点 作DE， AB， PDEP于 ，过点 作 交 于 ，当点 与点 重合时，点 停止运PQCQ Q动设 ， xy（1）求点 到 的距离 的长；H（2）求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；y（3）是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，PR请求出所有满足要求的 的值；若不存在

7、，请说明理由x3、 （湖南郴州）如图，平行四边形 ABCD 中， AB5， BC10， BC 边上的高 AM=4， E 为 BC 边上的一个动点（不与 B、 C 重合） 过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F FE 与 DC 的延长线相交于点 G，连结 DE， DF （1） 求证： BEF CEG（2） 当点 E 在线段 BC 上运动时， BEF 和 CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 BE x， DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时, y 有最大值，最大值是多少？ 4、 （浙江台州）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上AB

8、CD93APBC的动点（点 不与点 ，点 重合） ，过点 作直线 ，交 边于 点，再把PBPQB DQ沿着动直线 对折，点 的对应点是 点，设 的长度为 ， 与矩形QC RxR重叠部分的面积为 ABDy（1）求 的度数；（2）当 取何值时，点 落在矩形 的 边上？xRABC（3）求 与 之间的函数关系式；MBDCEFGxACDA BE FNMAB CD ERPH Q4当 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 ？x 72D Q CBPRA BAD C（备用图1）BAD C（备用图2）几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例 1】 （上海市） （1）取 中点 ，联结 ，ABHM为 的中点， ，

9、MDEE 1()2BAD又 ， AB，得 ；12S (0)yx（2）由已知得 2(4)E以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切，ABDE，即 12MH21()(4)2xx解得 ，即线段 的长为 ；43x43（3）由已知，以 为顶点的三角形与 相似，AN， ， BME又易证得 DEB由此可知，另一对对应角相等有两种情况： ；ADNABM当 时，N， DE ADBEBEM，易得 得 ；28当 时， ， B AD又 ， M ，即 ，得 E2EA22221(4)(4)xxxA5解得 ， （舍去） 即线段 的长为 212x10BE综上所述，所求线段 的长为 8 或 2BE【例 2】 （山东青岛） （

10、1）在 Rt ABC 中， ，52AC由题意知： AP = 5 t， AQ = 2t，若 PQ BC，则 APQ ABC， ， ， ACQBP54tt710（2）过点 P 作 PH AC 于 H APH ABC， ， ， ，BCHA35ttP53 tttPQy )(2121 2（3）若 PQ 把 ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ ， 解得： )24(3)5(ttt 1t若 PQ 把 ABC 面积平分，则 ， 即 3 t=3ABCPQS225 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 Rt ACB 的周长和面积同时平分（4）过点 P 作 PM AC 于

11、 ， PN BC 于 N，若四边形 PQP C 是菱形，那么 PQ PC PM AC 于 M， QM=CM PN BC 于 N， 易知 PBN ABC ， ，ABPC54t ， ，54t tCQ ，解得： 2tt 910t当 时，四边形 PQP C 是菱形 910t此时 ， ，375tPM9854tM在 Rt PMC 中， ，95081642P图BA QPCHP BA QPC图MN6菱形 PQP C 边长为 950【例 3】 （山东德州） （1） MN BC， AMN= B， ANM C AMN ABC ，即 AMNBC43xA AN x 3 = （0 4） S2128MNPAxx（2）如图（

12、2） ，设直线 BC 与 O 相切于点 D，连结 AO， OD，则 AO =OD = MN21在 Rt ABC 中， BC =52BC由（1）知 AMN ABC ，即 AMNB45x ，5 过 M 点作 MQ BC 于 Q，则 8ODx 58MODx在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中， B 是公共角， BMQ BCA BQCA ， 52834xM254ABMx x 496当 x 时， O 与直线 BC 相切 （3）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MN BC， AMN= B， AOM APC AMO ABP AM MB2 1AOBP故

13、以下分两种情况讨论： AB CM ND图（ 2）OQAB CM NP图 （3）OAB CM NP图 （1）O7 当 0 2 时， x283xSyPMN 当 2 时， .大 当 2 4 时，设 PM， PN 分别交 BC 于 E， Fx 四边形 AMPN 是矩形， PN AM， PN AM x 又 MN BC， 四边形 MBFN 是平行四边形 FN BM4 x 24PF又 PEF ACB 2PEFABCS23PEFx MNPEFy2229688xx当 2 4 时， x296y3 当 时，满足 2 4， 3x2y大综上所述，当 时， 值最大，最大值是 28【例 3】 （山东德州） （1）MNBC

14、，AMN =B，ANMC AMN ABC ，即 AMNBC43xA AN x 3 = （0 4） S2128MNPAxx（2）如图（2） ，设直线 BC 与O 相切于点 D，连结 AO，OD ，则 AO =OD = MN21在 Rt ABC 中，BC =52BC由（1）知 AMN ABC AB CM ND图（ 2）OQAB CM NP图 （ 4）OE F8 ，即 AMNBC45x ，5 过 M 点作 MQBC 于 Q，则 8ODx 58MODx在 Rt BMQ 与 RtBCA 中，B 是公共角， BMQBCA BQCA ， x 52834xM254ABMx96 当 x 时，O 与直线 BC 相

15、切96（3）随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MNBC， AMN=B ，AOMAPC AMO ABP AMMB2 1AOP故以下分两种情况讨论： 当 0 2 时， x283xSyPMN 当 2 时， .大 当 2 4 时，设 PM，PN 分别交 BC 于 E，Fx 四边形 AMPN 是矩形， PNAM，PNAM x 又 MNBC， 四边形 MBFN 是平行四边形 FNBM4 x 24PF又PEF ACB 2PEFABCS23PEFxAB CM NP图 （ 4）OE FAB CM NP图 （3）OAB CM NP图 （1）O9 MNPEFy

16、S22239688xx当 2 4 时， x296y3 当 时，满足 2 4， 3x2y大综上所述，当 时， 值最大，最大值是 2 8【学力训练】1、 （山东威海） （1）分别过 D，C 两点作 DGAB 于点 G，CHAB 于点 H ABCD， DGCH，DGCH 四边形 DGHC 为矩形，GHCD1 DGCH，ADBC，AGDBHC90， AGD BHC（HL ） AGBH 3 217GHAB 在 RtAGD 中，AG3， AD5， DG4 17462ABCDS大（2） MNAB，ME AB， NFAB， MENF，MENF 四边形 MEFN 为矩形 ABCD，ADBC， AB MENF，

17、MEANFB90， MEA NFB（AAS ） AEBF 设 AEx，则 EF72x AA ，MEADGA90 ， MEA DGACDA BE FNMG HCDA BE FNMG H10 ME DGMEAx34 649738)2(72 xFSEFN大当 x 时，ME 4，四边形 MEFN 面积的最大值为 473（3）能 由（2）可知，设 AEx ，则 EF72x，ME x34若四边形 MEFN 为正方形，则 MEEF 即 72x解，得 3410x EF 4 5 四边形 MEFN 能为正方形，其面积为 251964MEFNS大2、 （浙江温州市） （1） ， ， ， RtA6B8AC0B点 为 中点， DAB32， 90H，C ， BA312805DA（2） ， QR 9R， ，CCB ， ，AB106yx即 关于 的函数关系式为： yx365（3）存在，分三种情况：当 时，过点 作 于 ，则 PQRPMQRRM， ，1290290CAB CD ERPH QM21