2016秋专升本高等数学电子教案.doc

1、1写在教学前面的话高等数学学习建议1、首先，要花点时间全面浏览一下教材，了解一下高等数学这门课程主要有哪几块内容组成，每一块主要讲些什么东西。你们不是初学者，相信对高等数学不会十分陌生，即便是有些内容没有学过2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处理等等。断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦和问题会越积越多；3、围绕重点多做习题。数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧的目的；4

2、、对一些暂时搞不清的问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不懂，少量的题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到后面了回过头来，你会什么都明白了；5、还有一点，你要善于总结（思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？主要的公式定理？主要的计算方法等等。2微积分章节授课次序：1、 第一章 函数、极限与连续2、 第九章 无穷级数3、 第二章 导数与微分4、 第三章 导数的应用5、 第六章 多元函数微分学6、 第四章 不定积分7、 第八章 微分方程8、 第五章 定积分及其应用9、 第七章 二重积分3第一章 函数、极限和连续第一节 函数一、 函数的概念1、

3、函数的概念： Dxfy,)(（1）函数两要素： 和D（2）判断两个函数是否为同一个函数的方法：只要两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。2、单值函数和多值函数单值函数的特点：一一对应3、显函数和隐函数（1）形如 的函数称为显函数。)(xfy（2）由方程 所确定的函数 称为一个隐函数。有些微分方0,F )(xy程的通解就是隐函数。（3）隐函数有的可以显化，如 （多值函数）2211xx而有些隐函数不能显化，如 siny4、分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表达式表示，而是要用两个或者两个以上的表达式表示。这样的函数称为分段函数。5、函数的定义域通常是指

4、使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，一般要注意：（1）如果 ，要求)(1xf0)(xf（2）如果 （ 为正整数），要求n2 0)(xf4（3）如果 ，要求)1且0()logaxfa 0)(xf（4）如果 ，要求rcos和rcsinxf1（5）分段函数的定义域：是将分段函数所有的取值区间做并集。6、函数的表示法：表示函数通常用公式法辅之以图示法（数形结合）。例题精讲(P4-P5)1、求下列函数的定义域：（1） （历年真题） )1(log922xy（2） （历年真题）n4（3） 67arcsi2xy（4） x1ln)o(二、 函数的几种常见性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性）

5、1、有界性（1）有上界： 满足 （存在常数 M）上不去)(IxfyMxf(（2）有下界： 满足 （存在常数 m）下不来m（3）有界: 满足 （存在正常数 M）事实上： ，有界即既有上界又有下界。从图像MxfMxf)()(上观察，有界函数的图形会被两条平行于 x 轴的直线夹在中间。（4）无界（5）常用有界函数： ， ， ， 1sinx1cos1)(sinf1)(cosxf， 2arctxarcot02、单调性5（1）概念（2）讨论函数的单调性和有界性都不能离开函数的定义区间。3、奇偶性（1）概念：注意奇偶函数的定义域须关于原点对称（2）判断奇函数的方法： 或者)(xf0)(xf（3）奇+奇=奇，

6、偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇（4）非奇非偶函数，即对于函数 ，存在 ，有 且)(xfDx21,)(11xf)(22xf4、周期性（1）概念（2） 的最小正周期都是 ， 的最小正周期都是 。xcosin、 2xcottan、 、 的最小正周期都是)(y )cos(xy 2例题精讲2、函数 区间在（ ）有界（历年真题）xy2logA（0,1） B.（0， ） C. （1， ） D（1,2）3、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）)1ln()2xxf xxxf )32()()（3） （ 4）l2f 012afx4、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期。（

7、1） （2） （3）xy2sin2cosinxy )2cos(xy6三、反函数（1）概念（2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。（3）原函数和反函数的图形关于直线 对称。xy（4）反函数的求法。例题精讲5、求函数 的反函数并指出其定义域。0)1(02xeyx， ，四、基本初等函数（1）要求熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的表达式、定义域、值域、图像（要记忆）及 4 种性态。（P9-P11）（2）常见的幂函数图形： 、 、 、 、 、 。xy23xy1xy3（3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数 、 的图形。cosin、 cottan

8、、（4）掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。根据图形记忆：2arctnlimxx 2arctnlimxx0ox ox（5）掌握三角函数的常用公式。五、复合函数（1）概念（2）会求复合函数7（2）能正确分析复合函数复合过程（前提：熟练掌握各基本初等函数的表达式）六、初等函数（1）概念（2）一般说来，分段函数不是初等函数。例题精讲6、已知函数 的定义域是 ，求下列函数的定义域：)(xf2，1（1） （2） （3） （4）12y)(axfy)1(sinxfy )(lgxfy7、填空题：（1）设 的定义域为 ，则函数 的定义域为_（历年真题）()fx， (1l)fx（2）设 的定义域为 ，则 的定

9、义域是_1ya，0（3）设 的定义域为 ，则 的定义域是_lg2，（4）设 ，则 的定义域是_312)(xxf )3(xf（5）设 ，则 _cossin2cos8、已知 ，试求)0(1)(43xxf )(xf9、引入适当的中间变量，将下列函数分解为几个简单函数的复合：（1） （2） （3）)sin(lg1xey 32)1(arcosxy53210、设函数 0， ，1)(xexfx（1）做函数 的图形，并写出其定义域；f8（2）求复合函数 。)(xf11、设函数 ， ，求 。21， 0，2xxgln)()(，)(xfgf12、设 ， ， ，)(xef0，1，)(2g求 。)(， fg第二节 极限

10、的概念与运算一、 数列极限1、如果数列 满足 ，则称数列 收敛。否则称数列 发散。nxaxnlimnxnx2、如果数列 有一个子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列 发散。如数列nx1)(n二、函数极限1、 AxfxfAxfx )(lim)(lim)(lim2、 x0003、极限值 与函数值 是否存在无关。0x例题精讲（P21） 1、函数 在 处（ ）xf1sin)(A.有定义且有极限 B.无定义但有极限 C.有定义但无极限 D.无定义且无极限2、 ，则 _， _。023)(xxf， )(lim0xfx )(lim0xfx93、设函数 当 为何值时， 在点 处极限存在？0sin

11、1i)(xabxf ba, )(xf04、若 存在，且 ，求 。)(lim1xf )(lim3)(123xfxf)(li1xf5、设 ，求 与 的值。01432baxx ab三、无穷小和无穷大1、无穷小:极限为 0（绝对值无限变小）的变量。记作： （判定无0)(limxf穷小的方法）. 特例：常数 0 是无穷小。2、无穷大：绝对值无限变大的变量。记作： .)(limxf3、无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，（1） 有限个无穷小的和、差、积以及常数和无穷小的积仍为无穷小。（2） 有界函数和无穷小的积仍为无穷小。（3）若 是无穷大，则 是无穷小；若 是无穷小，则)(xf)(1xf)0(xf是无

12、穷大。 （判定无穷大的方法）)(1xf4、无穷小的比较设 和 都是在自变量同一变化过程中的无穷小，且 0（1） 如果 ，则称 是比 高阶的无穷小，记作0lim)(（2） 如果 ，则称 是比 低阶的无穷小。 10（3）如果 ，则称 与 是同阶无穷小。)0(limC（4）如果 ，则称 是与 是等价无穷小，记作 。1 5、常见的等价无穷小（记忆）：当 时， 0x xsinxtarcsinart1e)ln(x , co121)()(x例题精讲（P30）6、当 时， 是 的（ ）（历年真题）0xx3A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小7、当 时，下列与 是等价无穷小量的是（ ）（历年真题）A B. C. D. xsinxexcos)1ln(2x8、当 时，下列结论不正确的是（ ）（历年真题）0A B. C. D. xcos12x1ex)1ln(1x29、下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。A. B. C. D. )(1xe)(sinx)1(lnx)0(1x10、当 时，与 等价的无穷小是（ ）1i3A. B. C. D. )1ln(x)ln(x)31ln(x)1ln(3x11、当 时， 与 是等价无穷小，则 _。 02a4t2 a四、极限的计算方法1、函数极限的计算公式和法则同样适用于数列极限的计算。2、基本结果：