异面直线所成的角求法-总结加分析.doc

1、异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“ 补形法” 找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形 ABCD 中，ADBC2，E，F 分别为 AB、CD 的中点，EF 3，求AD、BC 所成角的大小解：设 BD 的中点 G，连接 FG，EG。在EFG 中 EF 3 FGEG1EGF120 AD 与 BC 成 60的角。2正 ABC 的边长为 a， S 为 ABC 所在平面外的一点，SASBSC a ，E，F 分别是SC 和

2、 AB 的中点求异面直线 SA 和 EF 所成角答案：453S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SASBSC，且ASB BSC CSA 2，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN所成的角的余弦值证明：连结 CM，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QNSMQNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角连结 BQ，设 SCa ，在 BQN 中BN 25 NQ 21SM 42a BQ a41COSQNB 50NQB4如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCA90，M 、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点，若 BCCACC 1，求 BM 与

3、AN 所成的角解：连接 MN，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG，易证GNA 就是 BM 与 AN 所成的角设：BCCACC 12，则 AGAN 5，GNBM 6，cosGNA 0356。BMANCSA BCDA1 B1C1D1 EF5如图，在正方体 1DCBA中，E、F 分别是 1B、CD 的中点求 E与 F所成的角。证明：取 AB 中点 G，连结 A1G，FG， 因为 F 是 CD 的中点，所以 GFAD，又 A1D1AD，所以 GFA 1D1，故四边形 GFD1A1 是平行四边形，A 1GD 1F。设 A1G 与 AE 相交于 H，则A 1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。因

4、为 E 是 BB1 的中点，所以 RtA 1AGABE, GA 1A=GAH,从而A 1HA=90,即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。6如图 128 的正方体中，E 是 AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA成异面直线? (2)求直线 BA和 CC所成的角的大小； (3)求直线 AE 和 CC所成的角的正切值； (4)求直线 AE 和 BA所成的角的余弦值解：(1) A平面 BC，又点 B 和直线 CC都在平面 BC内，且 BCC, 直线 BA与 CC是异面直线 同理，正方体 12 条棱中的 CD、DD、DC 、AD、BC所在的直线都和直线 BA成异面直线 (2) CCBB

5、 ， BA 和 BB所成的锐角就是 BA和 CC所成的角 ABB=45 BA 和 CC所成的角是 45 (3) AA BBCC，故 AE 和 AA所成的锐角AAE 是 AE 和 CC所成的角在 RtAAE 中，tanAAE ，所以 AE 和 CC所成角的正切值是 AE21 21 (4)取 BC的中点 F，连 EF、BF ，则有 EFError!ABError!AB, ABFE 是平行四边形，从而 BFError!AE, 即 BFAE 且 BF=AE. BF 与 BA所成的锐角ABF 就是 AE 和 BA所成的角设正方体各棱长为 2，连 AF，利用勾股定理求出ABF 的各边长分别为AB2 ，AF

6、 BF ，由余弦定理得：5cosABF 102)()(27. 长方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 AB=BC=3， AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1 所成角的大小。A BFM(图 129)55B(图 128)AA BCDCDFE解法一：如图，过 B1 点作 B1EBC 1 交 CB 的延长线于 E 点。则DB 1E 或其补角就是异面直线 DB1 与 BC1 所成角，连结 DE 交 AB 于 M，DE=2DM=3，5DB 1E= DB 1E= 。cos7340cosar7340解法二：如图，在平面 D1DBB1 中过 B 点作 BEDB 1 交 D1B1 的延长线于 E，则C 1

7、BE就是异面直线 DB1 与 BC1 所成的角，连结 C1E，在B 1C1E 中，C 1B1E=135，C 1E=3 ， C 1BE= ，C 1BE= 。5cos7340cosar7340练习：8. 如图，PA 矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=10，求 AD 与 PC 所成角的余切值为。9. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，若棱 B B1=BC=1，AB= ，求 D B 和 AC 所成角的余弦3值. 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结 B1C 交 BC1于 0，过 0 点作 OEDB

8、1，则BOE 为所求的异面直线DB1 与 BC1 所成的角。连结 EB，由已知有B1D= ，BC 1=5，BE= ， BOE= BOE=34352cos734cosar73410解法二：如图，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OEDB 1，过 E 点作 EFC 1B，则OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过 O 点作 OMDC，连结 MF、OF。则OF= ， OEF= ，异面直线 B1D 与 BC1 所成的角为 。732cos73410 cosar7340解法三：如图，连结 D1B 交 DB1 于 O，连结 D1A，则四边形 ABC1D1 为平行四边形。在平行四边形 ABC1D1

9、 中过点 O 作 EFBC 1 交 AB、D 1C1于 E、F，则DOF 或其补角就是异面直线 DB1与 BC1 所成的角。在 ADF 中DF= ， DOF= ，DOF= 。352cos7340cosar7340课堂练习10. 在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。ED BCA解法一：如图，以四边形 ABCD 为上底补接一个高为 4 的长方体 ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则 DB1D 2B， C1BD2 或其补角就是异面直线 DB1 与 BC1 所成的角，连

10、C1D2，则C 1D2C2 为 Rt， C 1BD2= ，异面直线 DB1 与 BC1 所成的角是cos730。cosar7340课堂练习：11. 求异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角的余弦值。在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 BC1 上补上一个同样大小的长方体，将 A1C1 平移到 BE，则D 1BE 或其补角就是异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角，在BD 1E 中，BD 1=3， 二、利用模型求异面直线所成的角模型 1 引理：已知平面 的一条斜线 a 与平面 所成的角为 1，平面 内的一条直线 b 与斜线 a 所成的角为 ，与它的射影 a所成的角为 2。求证：cos=

11、 cos 1cos2。在平面的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB，垂足为 O、B 奎 屯王 新 敞新 疆连接 OB，则 OBb.在直角AOP 中， .AO1cos在直角ABC 中， .B2在直角ABP 中， .Pcos所以 coscos21 AO所以 奎 屯王 新 敞新 疆cs证明：设 PA 是 的斜线，OA 是 PA 在 上的射影，OB/b，如图所示。则PAO= 1，PAB= ，OAB= 2，PbABO21 cbaP OA B过点 O 在平面 内作 OBAB，垂足为 B，连结 PB。可知 PBAB。所以 cos1= ， cos= ，cos 2= 。PAO

12、OA所以 cos= cos1cos2。利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 。需：过 a 的一个平面 ，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 内的射影。12. 如图，MA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线 MB与 AC 所成的角。解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB，直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45，直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45，所以直线 AC 与直 MB 所成的角为 ，满足cos=cos45 cos45= ，所以直线 AC 与 MB 所成的角为 60。21

13、13. 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中1ABC1ABCB点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) 34547434解：设 的中点为 D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,BC1A1ABAB1C由三角余弦定理，易知 .故选 D 1 3cocs4osD14. 如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a ，且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30角，AEPD 于 D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。解：过 E 作 AD 的

14、平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF，直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为DAE，其大小为 60，射影 AF 与直线 CD 所成的角为 CDA，其大小为 45，所以直线与直线所成的角 满足 cos=cos60 cos45= ，所以其大小为42arccos 。42PEDFAB CBCBCA1 11A DA BCDM模型 2 定理：四面体 ADBCD 两相对棱 AC、BD 间的夹角为 ，则有证明： CADBCADBCADOS而 222 2222 DB所以有：15. 长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB=AA 1=2

15、cm，AD=1cm，求异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角。解：连结 BC1、A 1B 在四面体为 ，易求得 由定理得： 所以 二、向量法求异面直线所成的角16. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结 B1E，取 B1E 中点 G 及 A1B1 中点 H，连结 GH，有 GH/A1E。过 F 作 CD 的平行线 RS，分别交 CC1、 DD1 于点 R、S ，连结 SH，连结 G

16、S。由 B1H/C1D1/FS，B 1H=FS，可得 B1F/SH。在GHS 中，设正方体边长为 a。BACDFEB1A1 D1C1GHSRPQGH= a（作直线 GQ/BC 交 BB1 于点 Q，46连 QH，可知GQH 为直角三角形） ，HS= a（连 A1S，可知 HA 1S 为直角三角形） ，GS= a（作直线 GP 交 BC 于点 P，连2 426PD，可知四边形 GPDS 为直角梯形） 。CosGHS= 。1所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为 。6解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中

17、每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB 1 为 z 轴，设 BC 长度为 2。则点 A1 的坐标为（0，2，2） ，点 E 的坐标为（1，0，1） ，点 B1 的坐标为（0，0，2） ，点 F 的坐标为（2，1 ，1） ；所以向量 的坐标为（-1，2，1） ，向量 的坐标为（2，1，-1） ，EB所以这两个向量的夹角 满足cos= = =- 。|1FBA 2222 )()()( 61所以直线 A1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为 6117. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M

18、、N 分别为 BC 和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 ，求 cos 的值。 （平移法也可）解：由已知得，空间向量 ， ， 不共面，ABCD且两两之间的夹角均为 60。由向量的加法可以得到= （ + ） ， = +AM21N21所以向量 与向量 的夹角 （即角 或者 的补角）满足 cos= ，其中|C = （ + ）（ + ）AN21AB21ADC= （ + +（ ） + ）DA= a2（ + +1）= a2；141| |2= （ + ） （ + ）= （1+1+1 ）a 2= a2；AMBACBAC4143BACDFEB1A1 D1C1ABCDMN| |2=（ + ）（ + ）

19、= +1 a2= a2。所以 cos=| cos|= 。NC1ADC21ADC41433218. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF= ，求 AB 和 CD 所成的角的大小。7解：取 AC 上点 G，使 AG：GC=1：2。连结 EG、FG，可知 EG/AB，FG/CD，3EG=2AB ，3FG=CD 。由向量的知识可知 = + = + ，EFBA3CD1设向量 和 的夹角为 。BACD则由| |2=（ + ）（ + ）=4+1+4cos=7，312得 cos= ，所以 AB 和 CD 所成的角为 60。19

20、. （思考题）如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120.求：(1)AC 1 的长； (2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.2112221 11 2111 2122111 222112111121| )()(,|,)( .| ,0,210cos,0cos9, |:| )( )(|): baABDABABDABCABADCaabb ADBabBABAAaDbBACACA 依 题 意 得由 已 知 得解21|ba211

21、4|,cosCBD 1 与 AC 所成角的余弦值为 .24ba判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；ABCDEFG选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)5(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取 AB中点 M，CC 1 中点 N，连 B1E 和 B1F；（7）答案： (A)，延长 B1A1至 M，使 A1MA 1D1，连 MA，取 AB 中点 N8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三 ，取 AD 中点 E，则MEN90；34四 ，取 AC 中点 F，连 EF、BF，求得 BE AD5，BF AC3 ；57 2121五 ，分别取 AC、B 1C1 的中点 P

22、、Q，则 PMQN 是矩形，设 CC1MQa ，则 MP2a；1六 ，取 AC 中点 F，连 EF、BF，则 EF4，BEBF 36异面直线所成的角-作业班级： 姓名： 学号： 一、判断是非(下列命题中，正确的打“” ，错误的打“”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点； (9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线； (11)不同在一

23、个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B) 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b 是异面直线， b、 c 也是异面直线，那么 a、c 的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5. 说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB 和 CC1； (2)A1C 和 BD1； (3)A1A 和 CB1；