弧长及扇形面积--讲义.doc

1、 1学科教师辅导讲义教学内容同步知识梳理1. 圆周长： r2C圆面积： S2. 圆的面积 C 与半径 R 之间存在关系 ，即 360的圆心角所对的弧长，因此，1的圆心角所对的弧R2C长就是 。3602n的圆心角所对的弧长是 180nP120180Rnl*这里的 180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。4. 在半径是 R 的圆中，因为 360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积 ，所以圆心角为 n的扇形2RS面积是：（n 也是 1的倍数，无单位）2

2、1360nSl5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。如图，从点 S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心 O，垂线段 SO 的长叫做圆锥的高，点 S 叫做圆锥的顶点。2锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形 SOA 绕直线 SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴 SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段 SA、SA 1、SA 2、都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。母线定义：连接圆锥

3、顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P 1226. 圆锥的性质由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；（2）圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。圆锥侧面积是扇形面积。如果设扇形的半径为 l，弧长为 c，圆心角为 n（如图） ，则它们之间有如下关系：180ncl同时，如果设圆锥底面半径为 r，周长为 c，侧面母线长为 l，那么它的侧面积是：lr2S圆锥的全面积为： 2rl例：在中，120的圆心角所对的弧长为 ，那么O 的半径为_cm。c

4、m80答案：1203解：由弧长公式： 得：180Rnlcm2n180Rl例：若扇形的圆心角为 120，弧长为 ，则扇形半径为_，扇形面积为c10_。答案：15；25例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的 2 倍，这个扇形的中心角为_。答案：90例：已知扇形的周长为 28cm，面积为 49cm2，则它的半径为_cm。答案：7例：两个同心圆被两条半径截得的 ， ，又 AC=12，求阴影部分面积。10AB6CD解：设 OC=r，则 OA=r+12，O=n108)2r(nABl610CD8rnOC=18，OA=OC+AC=30CODABS21ll863096例：如图，已知正方形

5、的边长为 a，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。解：正方形边长为 a4 ，2aS 22a81)(R1 S222a41a812S222 a1)a(a叶的总面积为 1*也可看作四个半圆面积减去正方形面积22a1a)(4S例：已知 AB、CD 为O 的两条弦，如果 AB=8，CD=6， 的度数与 的度数的和为 180，那么圆中的阴ABCD影部分的总面积为？解：将弓形 CD 旋转至 B，使 D、B 重合如图，C 点处于 E 点的度数为 180ABEAE 是O 的直径ABE=90又AB=8，BE=CD=6由勾股定理 1068E2半径 51OA245682SBE例：在AOB 中，O=90，OA=O

6、B=4cm，以 O 为圆心，OA 为半径画 ，以 AB 为直径作半圆，求阴影部分AB的面积。5解：OA=4cm，O=90 cm43609S2AOBc24，)(8AOB )c(42)(S2m8SAOBm则阴影部分的面积为：)c()4(2例：、 是边长均大于 2 的三角形，四边形、凸 n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1 为半径画弧与两邻边相交，得到 3 条弧，4 条弧，（1）图中 3 条弧的弧长的和为_图中 4 条弧的弧长的和为_（2）求图 中 n 条弧的弧长的和（用 n 表示）m解：（1），2（2）解法 1：n 边形内角和为：（n2）180前 n 条弧的弧长的和为： 个以某定点为圆心，以

7、1 为半径的圆周长)2n(13608)2n(n 条弧的弧长的和为： 解法 2：设各个扇形的圆心角依次为 n21,则 80)2n(1n 条弧长的和为：6180180n2)2n(180)(n2例：如图，在 RtABC 中，已知BCA=90，BAC=30，AC=6m，把ABC 以点 B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到 AB 边的延长线上的点 C处，那么 AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积为？分析：在 RtACB 中，C=90，BAC=30，AB=660CBA,321BA2法一： 2391SBC3602rnA1BC9SSSACBBCA 法二：以 B 为圆心，BC 为半径画弧交 AB 于 D，AB

8、于 D有 ，ACBSCBDS79312360120SSBDA例：如图，已知 RtABC 的斜边 AB=13cm，一条直角边 AC=5cm，以直线 AC 为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线 AB 为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？解： )cm(1253BC2以直线 AC 为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：)cm(30121S2以直线 AB 为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。1253CD2160ACDBS813027651360130例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为 9cm，圆心角为 240的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的

9、半径为_。答案：6例：若圆锥的轴截面是一个边长为 2cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_。答案：2例：已知圆锥的底面半径为 40cm，母线长为 90cm，则它的侧面展开图的圆心角为_。答案：160例：若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则侧面展开图的圆心角是_。答案：180例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是 80cm，母线长 50cm。（1）画出它的展开图；（2）计算这个展开图的圆心角及面积。解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）设扇形的半径为 l，弧长为 c，圆心角为 ，则 l=50cm， cm80lc180=288（度）5)cm

10、(62804rSl例：一个圆锥的高是 10cm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。9解：设圆锥底面半径为 r，圆锥母线长为 l，扇形弧长（即半圆）为 c，则由题意得r2c,l即 ,l在 RtSOA 中， 2210rl由此求得 )cm(3),c(3rl故所求圆锥的侧面积为 lrS )cm(3203102例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 ，高为 3.5m，外围高294m 的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解： 3r,9,rS22h 1=4， 5hl1362155.3rl70S答：至少要 平方米的毛毡。2【模拟试题】10基础演练1. 已知扇形的弧长为 6cm

11、，圆心角为 60，则扇形的面积为_。2. 已知弓形的弧所对的圆心角为 60，弓形弦长为 a，则这个弓形的面积是_。3. 如图，在平行四边形 ABCD 中， ， ，BDAD，以 BD 为直径的O 交 AB 于 E，交 CD 于34AB32DF，则图中阴影部分的面积为_。4. 如图，AB 是O 1的直径，AO 1是O 2的直径，弦 MN/AB，且 MN 与O 2相切于 C 点，若O 1的半径为 2，则O1B、 、CN、 所围成的阴影部分的面积是_。NC5. 如图，ABC 为某一住宅区的平面示意图，其周长为 800m，为了美化环境，计划在住宅区周围 5m 内， （虚线以内，ABC 之外）作绿化带，则此绿化带的面积为_。6. 如图，两个同心圆被两条半径截得的 ， ，O与 ， 都相切，则图中阴影部cm6ABc10CDABCD分的面积为_。