2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)数学理.doc

1、 长春市普通高中 2018 届高三质量监测（二） 数学理科一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知 ， ，则 李国波录|12Ax2|0BxABA. B. C. D. (,0)(,)(2,0)(2,)2. 已知复数 为纯虚数，则3zmiRmA. B. C. 或 D. 0343.设命题 ，则 是:(0,)ln1pxx pA. B. ,:(,0ln1xxC. D. 00:l00)4. 已知平面向量 ，则(1,3)(2,)ab|2|abA. B. C. D. 2 55. 已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若

2、 ，则 nnnS264,Saa5A. B. C. D. 401636. 已知动点 满足线性条件 ，定点 ，则直线 斜率的最(,)Mxy2058xy (,1)NMN大值为A. B. C. D. 12347. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 且垂直于长轴的直线交椭圆于143xy12,F两点，则 内切圆的半径为,ABFA. B. C. D. 45348. 已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位()2sin()0)fx()fx6后关于 轴对称，则下列结论中不正确的是yA. B. 是 图象的一个对称中心 56(,)1(fxC. D. 是 图象的一条对称轴()2f6)9. 若向区域 内投点，则该点

3、落在由直线 与曲线(,)|0,1xyy yx围成区域内的概率为yxA. B. C. D. 1863210. 如图，格纸上小正方形的边长为 ，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱1锥中最长棱的长度为A. 2B. 5C. D. 311. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右21(0,)xyab12,FP支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是12|4|PFA. B. C. D. 5(,35(,3(,25,)312. 若关于 的方程 存在三个不等实根，则实数 的取值范围是x2(ln)laxaA. B. C. D. (,)e21,0e21(,)e1(,0)e二 、 填 空 题 (本

4、大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 ).13. 的展开式中含 项的系数为_.52)x（x14. 更相减损术是出自九章算术的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入 ，则输出的值为_.91,3ab是 否否?ab是开始ab输出 a结束输出 ,15. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为 ，球的半径为 ，设两个正四棱锥的侧面与底aR面所成的角分别为 ，则 _.,tn()16.在数列 中， ，且对任意 ， 成等差

5、数列，其公差为 ，na10kN2121,kka2k则 _.n三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.（本小题满分 12 分）在 中，内角 的对边分别为 ，其面积 .ABC,abc2sinSbA(1)求 的值； cb(2) 设内角 的平分线 交 于 ， ， ，求 .ADBC23Aab18. （本小题满分 12 分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量分别在， ， ， ， ， （单位：克）10,5)0,2),

6、50)2,3)0,5)30,4)中，经统计得频率分布直方图如图所示.0.0080.0040.0030.0020.001频率/组距100 150 200 250 300 350 400 质量（克）O(1) 现按分层抽样从质量为 ， 的芒果中随机抽取 个，再从这 个250,3),50)9中随机抽取 个，记随机变量 表示质量在 内的芒果个数，求 的分布列及数3XX学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有 个，经销商提出如下两种收购方案：10A：所以芒果以 元/千克收购；10B：对质量低于 克的芒果以 元/ 个收购，高于

7、或等于 克的以 元/ 个收购.2522503通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19. （本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形，1ABCDABCD.24,23AD1C1BEDBA（1）证明： ；1（2）设 是线段 上的动点，是否存在这样的点 ，使得二面角 的余E1ABE1BDA弦值为 ，如果存在，求出 的长；如果不存在，请说明理由.71E20. （本小题满分 12 分）已知直线 过抛物线 ： 的焦点，且垂直于抛物线的对称轴， 与抛lC2(0)xpyl物线两交点间的距离为 .(1)求抛物线 的方程;(2)若点 ，过点 的直线与抛物线 相交于 , 两点，设直线 与 的(

8、2,)P(2,4)CABPAB斜率分别为 和 .求证： 为定值，并求出此定值.1k1k21. （本小题满分 12 分）已知函数 .ln()xfe（1）求证：函数 有唯一零点；（2）若对任意 ， 恒成立,求实数 的取值范围.(0,)xln1xekxk（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以直角坐标系的原点 为极点，1C2cosinxy O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x 2C2sin4cos（1）求 的普通

9、方程和 的直角坐标方程；12（2）若过点 的直线 与 交于 , 两点，与 交于 两点，求(,0)Fl1AB2,MN的取值范围.|ABMN23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.已知函数 .()|23|6|fxx(1)求 的解集；f(2) 若 的最小值为 ,正数 满足 ，求证： .()xT,ab12abT长春市普通高中 2018 届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. A【命题意图】本题考查集合的运算 . 【试题解析】A .故选 A. |12,|0,(1,0)AxBxAB2. B【命题意图】本题考查

10、复数的分类. 【试题解析】B .故选 B. 3m3. C【命题意图】本 题 考 查 含 有 一 个 量 词 的 命 题 的 否 定 .【试题解析】C 由含有一个量词的命题的否定. 故选 C. 4. A【命题意图】本 题 考 查 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 .【试题解析】A 由题意知， ，所以 .故选 A.2(3,)ab|2|3ab5.C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C 由 得 ，解得 ，从而 . 65460qq352=16a故选 C.6. C【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识. 【试题解析】C 根据可行域，当 取 时，直线 的斜率最大为 3.故选 C. M(

11、2,)N7. D【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.【试题解析】D 由题意知 的周长为 ，面积为 ，由内切圆的性质可知，其半径为1ABF83.故选 D. 348. C 【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质. 【试题解析】C 由题意可知 ，故 ，5=65()2sin()6fx.故选 C. 5()=2sin()2sin36f9. B【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用. 【试题解析】B 由直线 与曲线 围成区域的面积为yxyx，从而所求概率为 .故选 B. 131 20 0()()6xd 1610. D【命题意图】本 题 主 要 考 查 三 视 图 问 题 . 【试题解析】D

12、可在正方体中画出该三棱锥的直观图，进而算出其最长棱长为 .故3选 D. 11. B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. 【试题解析】B 由双曲线定义可知 ，从而 ，双曲线的离心率2|3aPF2ca取值范围为 .故选 B. 5(1,312. A【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识 . 【试题解析】A 由题意知 ，令 ， 的两2lnl()10xalnxt210ta根一正一负，由 的图象可知， ，解得 . 故lt24e(,)e选 A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 40 【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.【试题解析】由 可知含 的项为

13、 ，因此 的系数为 40.52()xx325()40Cx14. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识. 【试题解析】由输入 ，代入程序框图计算可得输出的 的值为 13. 91,aba15. 【命题意图】本题考查球的相关知识.4Ra【试题解析】设 ，则 ， ，代OPtn2Rtan2t入 ，24tant()()11ta又 ，即 . 22()Rt 4tn()R16. 【命题意图】本题考查数列通项公式的算法 . 21()na为 偶为 奇【试题解析】由题意可知2()1nna为 偶为 奇三、解答题17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法. 【试题解析】 （1） ，可知 ，

14、即 . （6 分）2siniSbcA2cb（2 ）由角平分线定理可知， ， ，3BDCS MDCA POB Q在 中， ，在 中，ABC2243cosbABD 243cosb即 ，则 . （12 分）22433bb118.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）9 个芒果中，质量在 和 内的分别有 6 个250,3),50)和 3 个.则 的可能取值为 0,1,2,3.X， ，36920()84CP216394()8CPX，133所以 的分布列为X0 1 2 3P2845

15、841的数学期望 . （6 分）X013E（2 ）方案 A： (150.7.25.0275.08325.043) 元方案 B：低于 250 克： 元(.3)1高于或等于 250 克 元08405031950总计 元7019526由 ，故 B 方案获利更多，应选 B 方案. （12 分）219.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连结 ， ，则由余弦定理可知 ，D1 1BD由直棱柱 可知， 1AC1 111BBAAB平 面 平 面平 面由 余 弦 定 理 可 知 平 面

16、1DB（6 分）111BDAD平 面平 面（2 ）以 为原点，以 方向为 轴，以 方向为 轴，以 方向为 轴，BDxABy1Bz建立坐标系. （ ） ， ， ，(0,3)Em0(,)B1(23,0)(,20)A， ，,1230nm， ，2A,2,，又 ，则 ，故 长为 1.（12 分）2|7cos1BE20.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】 （1）由题意可知， ，抛物线的方程为 . （4 分）2p2xy（2 ）已知点 ，设直线 的方程为：(2,)Pl4()yk， ，则 ， ，1(,)Axy

17、B11()ykx22()22 121 1212()4) ()kkx x联立抛物线 与直线 的方程消去 得2y4()kxy80k可得 ， ，代入 可得 .1x28k因此 可以为定值，且该定值为 . （12 分）2k21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】 （1） 21ln()xfe，易知 ()fx在 0,e上为正，因此 ()f在区间 (0,)上为增函数，又 ，12()0ef(1)fe因此 ，即 ()fx在区间 (,1)上恰有一个零点，1f由题可知 在 上恒成立，即在 上无零点，()0x,

18、)则 f在 上存在唯一零点. （4 分）,（2 ）设 ()的零点为 0，即0lnxe. 原不等式可化为 ，ln1xek令ln1xeg，则()g，由（1）可知 ()g在 0,)上单调递减，在 0()， 上单调递增，故只求 0x，下面分析0lnxe，设0et，则0lnxt，可得 ，即0llt0(1)lxt若 1t，等式左负右正不相等，若 ，等式左正右负不相等，只能 1t. 因此 ，即 求所求. （12 分）00ln1l()xexg1k22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参

19、数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （1）曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为1C21xy2C；（5 分）24yx（2）设直线 的参数方程为 （ 为参数）l cosinxtyt又直线 与曲线 ： 存在两个交点，因此 . 24in0联立直线 与曲线 ： 可得 则l1C212(si)cos1t22|sinFABt联立直线 与曲线 ： 可得 ，则l4yx2sin4s0tt12|iMNt即 . （10 分）22 2| 1si1sn(,448i sinFAB23.(本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】 （1）由图像可33326()59()2()|2| 2()()xxfx 知： 的解集为 . （5 分）()f71(,5（2 ）图像可知 的最小值为 1， )fx由均值不等式可知 ，242ab当且仅当 时， “ ”成立，即 . （10 分）abT y xO1 32.522 7