《复变函数与积分变换》复习(研究生)2013.doc

1、第 页1复变函数与积分变换研究生复习计算题部分一、 填空题1. 若 ， ，则 材 = （P14，两个复数的商等于它们的模的商；3arg1z4ar2z21argz两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差）2. 复数 的指数形式是 ，幅角主值 = 。 （P46）iz231ie3zarg33. 复数 = ， = （计算过程可见第三题） 。 （P46）)ln(i)24(kili)2(k4. 设 解析，则 ， = 233mxyiyxzfm3zf。 （P41 ，柯西。黎曼方程）)(62yi5. 设 C 为自原点到 的直线段，则积分 = （用牛顿-莱布尼兹公式） 。i1Czdcos1in(6. 级数 是

2、 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛） 。1)(nni7. = 。 （请分别用柯西积分公式或留数定理计算）2zzedAi8. 设. ，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点） ，fsi)(0= 0 。,Rez9. 函数 的奇点是 （都是一级极点）)1(2)(zf i,210. 是 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点） ， = 1 。0zze1 0,Rezs11. 函数 的幂级数展开式是zf2第 页2。50)2()2(10n.zzn12. 拉普拉斯变换的定义是 。0e)(dtf)sFtfL-s13. 若 , 则 。43tfteft413s二、 计算1. 说明函数 在一点 连续

3、、可导、解析的关系。)(zf0讨论 的连续、可导、解析性。Re答：函数在一点 连续、可导、解析的关系是：解析 可导 连续，反之不成立。 0z 对 ，设 ，则 ，即 。zf)(iyxixyixf2)z( xyv,u2由于 都是连续函数，故 在复平面上处处连续。由于vu、f ,0;y。显然 可微，但只在 处满足柯西 -黎曼方程,xyvu、 0y,。因此 只在 处可导，但在复平面上处处不解析。x)(zf2. 分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。2)(ieie1解： 4343)(2 sincoii所以模为 ，幅角 4 + 2 k (主值为 4 - )，实部 、虚部 。4cos3e4sin3e 1e21

4、1 sincoeii所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。21221cose21sine3. 求 ,ii1)(解：kkilniiLni ee221 klniklnkilniinii 24244111)(。其中 k = 0 时可,k20得相应主值。第 页34. 验证 是调和函数，并求 ，使函数yxyu24),(2 ,vxy,fzuxivy为解析函数。解： ，因此 u 是调和函02242 yxyxyx u,.u,数。下面用偏积分法求 v：由 ，得到 ；4uxy xcyxdv42再由 ，得 ， ，yxuv22ycc,x所以当 时， 为解析函数。x4,fzuivy三、 求下列积分

5、1. ，其中 C 是从 0 到 的直线段。dzeC1i解：由于 z e z 是解析函数，用分部积分法可得 1i10izCz eed2. 其中 C 是从 0 到 的直线段C)R(i2解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t 从 0 到 1),d z =(2 + i)d t。所以得到itiddReC 22) 10103. 设 ，求 （6 分）37(zzf .if,zf,)5()(解： 所以 3017321)(32 zidf 、 3076)( zzizf 、进而得 23,(5)0.fiiifi第 页44. 求积分 , 为不通过 的闭曲线.d

6、zaeC3)(a解：当 a 不在 C 内时，由柯西 -古萨基本定理，得 0)(3dzaeC当 a 在 C 内时，由高阶导数公式，得 。aazz eie!ide22)(3 5. 5tan,zzA32cot,32,sinzzdA解： 的一级极点有 z = 0.5+k，其中 在 C 内。zcsit 5432510. 、且由法则可求得在各极点处的留数为 。故由留数1Reskzkcosinz,coin定理得 i,zsiidztankkz 202105 同理 ； izz6sico2332inzedA四. 函数的展开式1. 求 在 内的罗朗展开。2)1()zf01z2. 在 内的罗朗展开。2(izf i3.

7、 将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。sn)解：1. 对 ，因为在 内有 2)1(zf01，故在 内有0znn1z第 页5 20022 1z1z1z)1()() nnnnzzf2. 对 ，在 内时2if i 02112 01zzz1 znnnnnniiii iiii20222 3z)()() nnn iiiiif3. z!z!z 125311sinnf n0i)( 12531 四、 积分变换部分1. 求拉氏变换 ， ， 。tsinL2tcos2)(catsineLbt解： 421112 stotsi22cos2 tcsLtLtco22sincoscosi)ion()(sinababt

8、etetate tbtbtb 2. 求下列函数的拉氏逆变换, )3(1)(ssF)1(2s)F第 页6解: tte.s.LsL 311 510350)3( t 1)(2121证明题部分1. 应用棣莫弗公式证明 (1cosin)2cossin2()n2. 证明：如果函数 在区域 D 内解析，且 在 D 内是一个常数， )fzuvarg)fz那么 是常数。(3. 证明 1|2!)nnzzzediA4. 证明如果级数 在它的收敛圆的圆周上一点 处绝对收敛，则它在收敛圆1nc0z所围成的闭区域上绝对收敛。综合题部分1. 写出指数函数 ，对数函数 ，幂函数 ，正弦函数 ，余弦函数zeLn,lzzsinz的表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么） ，周期性，是否有cosz界等。2. 设函数 在 处分别有 m 级及 n 级零点,试问 在 处具有什么性质(解(),fzg0 )fzg0析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？), 并根据 m, n 的不同情况求出它们的留数(其中 m,n 为非负整数)3. 描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。 （请就知道的尽量回答完整）4. 试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。