三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质.doc

1、- 1 -三角形“四心”向量形式的充要条件应用1O 是 ABC的重心 0OCB;若 O 是 的重心，则 ABCAOBAS31SS 故 0OC;为 的重心.1( )3PGPAPG2O 是 B的垂心 B ;若 O 是 C(非直角三角形)的垂心，则 tantanSSAOBCO ： 故 0CtanOtAtan3O 是 B的外心 |B|(或22)若 O 是 C的外心则 C2sin:BsisinsisinSAOCO ：故 02sisinA2si4O 是内心 B的充要条件是 0)|A(O)|BC|A()|B( 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 ,的单位向量为 321e,，则刚才 O是 AC内心的充要条

2、件可以写成 0)()e(O)e(A2131 ，O是 B内心的充要条件也可以是 0cBba 。若 O 是 B的内心，则cSSAOBCO： 故 CsinsiAsin0cba 或 ;是 的内心;|BPPB向量 所在直线过 的内心(是 的角平()(|ACA分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足， 则 P 点的轨迹一定通过 的（ ）)(ACBP,0ABC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为 是向量 的单位向量设 与 方向上的单位向量分别为 ， 又AB 21e和 A CB C1eC2P- 2 -，则原

3、式可化为 ，由菱形的基本性质知 AP 平分 ，那么在APO)(21eAP BAC中，AP 平分 ，则知选 B.BCBC(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 H 是 ABC 所在平面内任一点， 点 H 是 ABC 的垂心.ACHBA 由 ,CHCBBA 00)(同理 ， .故 H 是 ABC 的垂心. （反之亦然（证略） ）CA例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABC 的（D ）ACPBAA外心 B内心 C重心 D垂心解析:由 .即0 PBAP得 0,0)(B即则 所以 P 为 的垂心. 故选 D.CPB,同 理 A(三)将平面向量与三角形重心结合考

4、查“重心定理”例 4 G 是 ABC 所在平面内一点， =0 点 G 是 ABC 的重CGB心.证明 作图如右，图中 ECB连结 BE 和 CE，则 CE=GB， BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线.将 代入 =0，GECBGA得 =0 ，故 G 是 ABC 的重心.（反之亦然（证略） ）AD2例 5 P 是 ABC 所在平面内任一点. G 是 ABC 的重心 .)(31PCBAPG证明 CPBG)(3CBA G 是 ABC 的重心 =0 =0，即A3由此可得 .（反之亦然（证略） ）)(31P例 6 若 为 内一点， ，则 是 的（ ）OB

5、C0OBCOABCA内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由 得 ，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则0A- 3 -A B(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF，由平行四边形性质知 ， ，同理可证其它两边上的这个性OBCD12OED2AOE质，所以是重心，选 D。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例 7 若 为 内一点， ，则 是 的（ ）AABCBCA内心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定义知 到 的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选 B。OOA(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 ， ， 满足条件 + + =0，| |=| |=| |=1，1P

6、231P231P23OP求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下） ，复习参考题五 B 组第 6 题）证明 由已知 + =- ，两边平方得 = ，O231O2同理 = = ，231| |=| |=| |= ，从而 P1P2P3是正三角形.1PP3反之，若点 O 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有 + + =0 且1O2P3| |=| |=| |.1O23即 O 是 ABC 所在平面内一点，+ + =0 且| |=| |=| | 点 O 是正 P1P2P3的中心.1P231OP23P例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且

7、QG:GH=1:2。【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B（x 1,0） 、C(x 2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有：由题设可设 ,12,0)(,(,)xyxyD（ 、 、 1324,)()2Hx（ 、12(3yG1224,xyHQ，212,)BCx21244()0Axyxy212323()()0QFACxyy- 4 -1212122433()(,),xxxyQHy（212212212311()(,),( 3 , (, )61 =3 xGxxyxyQH2 2（6即 ，故 Q、 G、 H 三点共线，且 Q

8、G： GH=1：2例 10若 O、 H 分别是 ABC 的外心和垂心.求证 .OCBAH证明 若 ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO 并延长交外接圆于 D，连结 AD， CD. ， .又垂心为 H， ，ABDCBCA C， AH CD， CH AD，四边形 AHCD 为平行四边形， ，故 .OH O著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线” ；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量

9、问题.例 11 设 O、 G、 H 分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OHG31证明 按重心定理 G 是 ABC 的重心 )(31OCBAOG按垂心定理 由此可得 .CBA H31一、 “重心”的向量风采【命题 1】 是 所在平面上的一点，若 ，则 是 的重心如图 0ABGABC. AGCA B图 图MPCBAO- 5 -【命题 2】 已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OABC， P， ，则 的轨迹一定通过 的重心.()OPABC(0)，P【解析】 由题意 ，当 时，由于 表示 边上的中线所PA(0)，()ABC在直线的向量，所以动点 的轨迹一定通过 的重

10、心，如图.二、 “垂心”的向量风采【命题 3】 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的垂PABC PACBPA B心【解析】 由 ，得 ，即 ，所以 同理可()0PC0证 ， 是 的垂心如图.PCAB PAB C【命题 4】 已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OABC， P， ，则动点 的轨迹一定通过 的垂心coscsABCOP (0)，PABC【解析】 由题意 ，由于 ，coscsAPBC 0coscsAB即 ,所以 表示垂直于 的向量，即 点在过点 且0cossABCPCPA垂直于 的直线上，所以动点 的轨迹一定通过 的垂心，如图.PAB三、 “内心”的向量风采【命题

11、 5】 已知 为 所在平面上的一点，且 ， ， 若IABC cAbBa，则 是 的内心0aIAbBcIC图 图HFE MA BCOPA BCOPbacIA CB- 6 -OCA B【解析】 ， ，则由题意得 ，IBAICA()0abcIABcC ，bcBC 与 分别为 和 方向上的单位向量，ACIabcAABC 与 平分线共线，即 平分 IB I同理可证： 平分 ， 平分 从而 是 的内心，如图.BIAA【命题 6】 已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OBC， P， ，则动点 的轨迹一定通过 的内心COP(0)，PABC【解析】 由题意得 ，当 时， 表示 的平分线所在

12、直ABCP(0)，P线方向的向量，故动点 的轨迹一定通过 的内心，如图.四、 “外心”的向量风采【命题 7】 已知 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的外心A 22OABCOABC【解析】 若 ，则 ， ，则 是 的22ABC22OABCOABCOABC外心，如图。【命题 7】 已知 是平面上的一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足， P，2coscsOBCPABC图 图图MOBCAP图- 7 -，则动点 的轨迹一定通过 的外心。(0)，PABC【解析】 由于 过 的中点，当 时， 表示垂直于2OBC(0)，coscsABC的向量（注意：理由见二、4 条解释。 ） ，所以 在 垂直平分线

13、上，动点 的轨迹一定通BC PCP过 的外心，如图。A补充练习1已知 A、 B、 C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足= ( + +2 ),则点 P 一定为三角形 ABC 的 （ B ）OP321A.AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心 D. AB 边的中点1. B 取 AB 边的中点 M，则 ，由 = ( + +2 )可得 3BA2312OA1C， ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且CP23P3点 P 不过重心，故选 B.2在同一个平面上有 及一点满足关系式： 22B222，则为 的 （ D ）AAB

14、外心 内心 C 重心 D 垂心2已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： ，则 P 为 的 0ACABC（ C ） 外心 内心 C 重心 D 垂心3已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：，则 P 的轨迹一定通过ABC 的 （ C ）)(P 外心 内心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：，则 P 点为三角形的 （ D ）0AB 外心 内心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足： ，则 P 点0aAbPBcC为三角形的 （ B ） 外心 内心 C 重心

15、 D 垂心6在三角形 ABC 中，动点 P 满足： ，则 P 点轨迹一定通过ABC 的： CABC22- 8 -（ B ） 外心 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为( )AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足( )=0，即角 A 的平分线垂直于 BC， AB=AC，又| cosA= ， A= ，所以 ABC 为等边三角形，选 D|ABC12 38. 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为

16、 H， ，则实数 m = )(OCBAmO19.点 O 是 所 在 平 面 内 的 一 点 ， 满 足 ， 则 点 O 是 的 （ B ）ABCCBA （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点10. 如图 1，已知点 G 是 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且C，MxB，则 。ANy3y证 点 G 是 的重心，知 O，ACGABC得 O，有 。又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN()()B1()3A上） ，于是存在 ，使得 ，,()MN且有 = ，AGxyAC1()3B得 ，于是得 。13x

17、- 9 -1、课前练习1.1 已知 O 是ABC 内的一点，若 ，则 O 是ABC 的 22CBOAA、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2 在ABC 中，有命题 ； ；若0A，则ABC 为等腰三角形；若 ，则ABC 为锐角三角0AC B形，上述命题中正确的是 A、 B、 C、 D、例 1、已知ABC 中，有 和 ,试判断ABC 的形状。0BA21AC练习 1、已知ABC 中， ， ，B 是ABC 中的最大角，若 ，试判断ABCabC0ba的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，满足 ，则22222 ABOCBCOAO 是ABC

18、 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例 3、已知 P 是ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足 ，,0,ACBO则动点 P 一定过ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习 2、已知 O 为平面内一点，A、B、C 平面上不共线的三点，动点 P 满足，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的 ,0,21A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例 4、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，动点 P 满足，则动点 P 一定过ABC 的 ,0,coscsAPA、重心 B、垂心 C、外心 D、内心- 10 -练习 3、已知 O 是ABC 所

19、在平面内的一点，动点 P 满足，则动点 P 一定过ABC 的 ,0,coscs2CABCBPA、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例 5、已知点 G 是的重心，过 G 作直线与 AB、AC 分别相交于 M、N 两点，且，求证：yNxM, 31yx7、作业1、已知 O 是ABC 内的一点，若 ，则 O 是ABC 的 0COBAA、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，且 ，则 等于 0OBAA、 B、0 C、1 D、1 213、已知 O 是ABC 所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是 a、 b、 c 若，则 O 是ABC 的 cbaA、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、已知 P 是ABC 所在平面内与 A 不重合的一点，满足 ，则 P 是ABC 的 ACB3A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、平面上的三个向量 、 、 满足 ， ，求证：O0O1OABC 为正三角形。6、在ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM2，求 )(CBA