1、1图象变换的顺序寻根题根研究 一、图象变换的四种类型从函数 y = f (x)到函数 y = A f ( )+m，其间经过 4 种变换：1.纵向平移 m 变换 2.纵向伸缩 A 变换3.横向平移 变换 4.横向伸缩 变换一般说来，这 4 种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以 y = sinx 到 y = Asin ( )+m 为例，讨论 4 种变换的顺序问题.【例 1】 函数 的图象可由 y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法 1】 第 1 步，横向平移：将 y = sin x 向右平移
2、，得 第 2 步，横向伸缩：将 的横坐标缩短 倍，得 第 3 步：纵向伸缩：将 的纵坐标扩大 3 倍，得 第 4 步：纵向平移：将 向上平移 1，得 【解法 2】 第 1 步，横向伸缩：将 y = sin x 的横坐标缩短 倍，得 y = sin 2x第 2 步，横向平移：2将 y = sin 2x 向右平移 ，得 第 3 步，纵向平移：将 向上平移 ，得 第 4 步，纵向伸缩：将 的纵坐标扩大 3 倍，得 【说明】 解法 1 的“变换量” （如右移 ）与参数值（ ）对应，而解法 2 中有的变换量（如右移 ）与参数值（ ）不对应，因此解法 1 的“可靠性”大，而解法 2 的“风险性”大.【质疑
3、】 对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反如当 1 时对应着“缩” ，而| A | 1 时，对应着“ 扩”？【答疑】 对于（2） ， （3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式 y = A f ( )+m 中 x 和 y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+ ) = f ( )，则 x、y 在形式上就“地位平等”了.如将例 1 中的 变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变” ，而“平移量有变”？这是因为在“一
4、次”替代：x 中，平移是对 x 进行的.故先平移（x ）对后伸缩（ ）没有影响； 但先收缩（x ）对后平移（ ）却存在着“平移”相关. 这3就是为什么（在例 1 的解法 2 中）后平移 时，有 的原因.【说明】 为了使得 4 种变换量与 4 个参数（A， ， ，m）对应，降低“解题风险” ，在由 sinx 变到 Asin ( ) ( 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x（2）横向伸缩：x+ （3）纵向伸缩：sin ( ) Asin ( )（4）纵向平移：Asin ( ) Asin ( ) + m这正是例 1 中解法 1 的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由 sin x 到 Asin
5、 ( )+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由 Asin ()+m 到 sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移， （2）横向伸缩， （3）纵向伸缩， （4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移， （2）纵向伸缩， （3）横向伸缩， （4）横向平移.如将函数 y= 2sin (2 ) +1 的图像下移 1 个单位得 y=2sin (2x )，再将纵坐标缩小一半得 y= sin(2 x ),再将横坐标扩大 2 倍得 y= sin(x ),最后将图象左移 得函数 y= sinx.【例 2】 将 y = f
6、(x)cos x 的图象向右平移 , 再向上平移 1, 所得的函数为 y=2sin2 x . 试求 f (x)的表达式.【分析】 这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】 将 y = 2sin2 x 下移 1 个单位（与正向变换上移 1 个单位相反） ，4得 y = 2sin2 x 1，再将 2sin2x 1 左移 （与正向变换右移 相反）得 令 f (x)cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x【说明】由此得原函数为 y=f(x)cosx=2 sin x cosx=si
7、n2x. 正向变换为 sin 2x2sin 2x,其逆变换为 2sin2x sin2x. 因为 2sin2x=1+sin(2 x ),所以下移 1 个单位得 sin(2 x ),左移 得 sin2x.三、翻折变换 使 0平移变换 x 是“对 x 而言” ，由于 x 过于简单而易被忽略 .强调一下，这里 x 的系数是+1. 千万不要误以为 是由 sin(- x)左移 而得.其实，x 或 y 的系数变 -1，也对应着两种不同的图象变换：由 x - x 对应着关于 y轴的对称变换,即沿 y 轴的翻折变换；由 f (x) - f (x)对应着关于 x 轴的对称变换,即沿 x 轴的翻折变换.【例 3】
8、求函数 的单调减区间. 【分析】 先变换 -3x3x, 即沿 y 轴的翻折变换.【解析 1】 ，转化为求 g(x)=sin(3x )的增区间令 x （f( x)减区间主解）又函数的 f(x)周期为 ，故函数 f(x)减区间的通解为5 x 【解析 2】 的减区间为 即是 x 【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析 1 和解析 2 可知,求 f(x)的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得 f(x)减区间的主解 x (2)再利用主解进行横向平移( 的整数倍)即得 f(x)减区间的通解.【思考】 本解先将 “正数化” ，使 0 是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！
