1、高等数学教案 第四章 不定积分高等数学课程建设组 1第四章 不定积分教学目的：1、 理解原函数概念、不定积分的概念。2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。4 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任一 xI 都有F (x)f(x)或 dF(x)f(
2、x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 例如 因为(sin x) cos x 所以 sin x 是 cos x 的原函数 又如当 x (1 )时 因为 所以 是 的原函数 21( 21提问: cos x 和 还有其它原函数吗？原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) 使对任一 x I 都有F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x) C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是
3、任意常数 第二 f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果 (x)和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数 ) 高等数学教案 第四章 不定积分高等数学课程建设组 2定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作 dxf)(其中记号 称为积分号 f(x )称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即 df)()(因而不定积分 可以表示 f(x)的任
4、意一个原函数 dxf)(例 1因为 sin x 是 cos x 的原函数所以Csinco因为 是 的原函数所以x2d1例 2. 求函数 的不定积分xf)(解：当 x0 时(ln x ) 1(x0)Cdln 1当 x0) x2解: 设 xa sin t 那么 t2xatatcossin2dx a cos t d t 于是tdcos2 Cta)2in41(2因为 , 所以axtrcsinxttcosin2 dxta)2in41(2 Cxaxa221rcsin解: 设 xa sin t 那么2t高等数学教案 第四章 不定积分高等数学课程建设组 10tdadxacos2 Cttt)2in41(2 Cx
5、axa221rcsin提示: dxacos tdt 2xattacossin2提示: , trcsi x2例 20. 求 (a0) 2xd解法一 设 xa tan t 那么2ta sec t dxa sec 2t d t 于是2axt2ntn1 ln |sec t tan t |C 2xddtsecs2因为 所以axt2secatn ln |sec t tan t |C 2xdax)ln(212)ln(ax其中 C 1Cln a 解法一 设 xa tan t 那么2tln|secttant|C dtdsecs22 ax)ln(212)ln(ax其中 C 1Cln a 提示: asect dxa sec 2t dt 2x2tn提示: atsecx解法二: 设 xa sh t 那么
