1、1二次函数中考考点分析考点 1、确定 a、b、c 的值二次函数:y=ax 2+bx+c ( a,b,c是常数,且 a0) 开口向上, 开口向下抛物线的对称轴为: ,由图像确定 的正负,由 a的符号确定出 b的符号,a,b 符号左 b右 即当抛物线的对称轴在 y轴的左边时,a,b 号。由 x=0时,y= ,知 c的符号取决于图像与 y轴的交点纵坐标,与 y轴交点在 y轴的正半轴时,c 0,与 y轴交点在 y轴的负半轴时,c 0确定了 a、b、c 的符号,易确定 abc的符号考点 2、确定 a+b+c的符号x=1 时,y= ,由图像 y的值确定 a+b+c的符号与之类似的还经常出现判断 4a+2b
2、+c的符号(易知 x=2时,y= ) ,由图像 y的值确定 4a+2b+c的符号还有判断 ab+c 的符号(x=1 时,y= )等等考点 3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号抛物线的对称轴为 x= ,根据对称性知:取到2ba对称轴 距离相等 的两个不同的 x值时, 值相等,即当 x= +m或 x= m 时,y值相等中考考查时,通常知道 x= +m时 y值的符号,让确定出 x= m 时 y值的符号2ba考点 4、由对称轴 x= 的确定值判断 a与 b的关系如: =1能判断出 a = b2ba考点 5、顶点与最值若 x可以取全体实数,开口向下时,y 在顶点处取得最大值,开口向上时,y在顶点处取得
3、最小值例 1、已知二次函数 的图象如图所示,有下列 5 个结论: ; )0(2cba 0c; ; ; ,( 的实数)其中正确的结cab04c3)(bam1论有( )A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个解析:此题考查了考点 1、2、3、4、5 错误因为: 开口向下 0;对称轴 x= =1,可以得出 b0; x=0 时,y=c0,故 abc0错误因为:ba由图知 x=1 时,y=ab+c0,即 ba+c正确因为:由对称轴 x=1知,x=0时和 x=2时 y值相等,由 x=0时,y0,知 x=2时,y=4a+2b+c0正确因为:由对称轴 x=1,可以得出 a =0.5 b,代入前面
4、已经证出 ba+c,得出 1.5bc,即 3b2c正确因为:2抛物线开口向下,故顶点处 y值最大,即 x =1,y= a+b+c最大,此时 a+b+cam 2+bm+c( ) ,即1m, ( ) 答案:B)(bma1考点 6、图象与 x轴交点 0,ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根; 0,ax 2+bx+c=0无实根; =0,ax 2+bx+c=0有两个相等的实根b 2-4ac0,抛物线与 x轴有 个交点;b 2-4ac0,抛物线与 x轴 交点;b 2-4ac=0,抛物线与 x轴 个交点例 2、二次函数 与 x 轴的交点个数是( )21yA0 B1 C2 D3解析:求图象与 x轴的交点应
5、令 y=0,即 x22x+1=0,b 2-4ac44=0,二次函数图象与 x轴只有一个交点答案:B考点 7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误如:在同一种坐标系中正确画出一次函数2和二次函数 , 关键是 两个式子中的 a、b 值应相同yaxb)0(2acbxy例 3、在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为( )y2yaxb解析:二次函数 过点(0,0) ,故排除答案 B与 C若 a0,抛物线开口向上,一次函数2yaxb的 y值随着 x值的增大而增大;若 a0,抛物线开口向下,一次函数 的 y值随着 xyaxb yaxb值的增大而减小答案:A.考点 8、能分别判断出在对称轴的左右两
6、侧二次函数 y值随 x值的变化而变化情况抛物线当开口向上时,在对称轴的左侧二次函数 y值随 的增大而减小,在对称轴的 侧二次函数 y值随 x值的增大而增大抛物线开口 时,在对称轴的左侧二次函数 y值随 x值的增大而增大,在对称轴的右侧二次函数 y值随 x值的增大而减小例 4、已知二次函数 (a0) 的图象经过点 (-1,2),(1 ,0) . 下列结论正确的是( )2xbcA. 当 x0 时,函数值 y 随 x 的增大而增大B. 当 x0 时,函数值 y 随 x 的增大而减小C. 存在一个负数 x0,使得当 x x0时,函数值 y 随 x 的增大而增大D. 存在一个正数 x0,使得当 xx0时
7、,函数值 y 随 x 的增大而增大解析:二次函数 (a0) 的图象没说明开口方向,故过2bc点(-1,2) ,(1 ,0)的抛物线有可能开口向上或向下,见图再结合选项,抛物线当开口向上时,在对称轴x=x0(x 00)的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小,在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大抛物线开口向下时,在对称轴 x=x0(x 00)的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大,在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小答案:D 考点 9、二次函数解析式的几种形式 (1)一般式:yax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a0). (2)顶点式:ya(x-h
8、) 2+k(a,h,k为常数,a0). 抛物线的顶点坐标是(h,k),h0 时,抛物线 yax 2+k的顶点在 轴上;当 k0 时,抛物线 ya(x-h) 2的顶点在 x轴上;当 h0 且 k0 时,抛物线yax 2的顶点在 .(3) (3)两根式:ya(x-x 1)(x-x2),其中 x1,x2是抛物线与 x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式,已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式,已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标时设成两根式例 5、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为 ,且过点 求该二次函数的解析(4)A,
9、 (30)B,式为 解析:(1)设二次函数解析式为 ,二次函数图象过点 , ,得2(1)yax(), 4aO xyO xyO xyO xyA B C D3 二次函数解析式为 ,即 1a2(1)4yx23yx【知识梳理】1.定义:一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数.2.二次函数 用配方法可化成: 的形式,其中.3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向:当 时,开口向上;当 时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地, 轴记作直线 .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 相同,那么抛
10、物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法: ,顶点是 ,对称轴是直线 .(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 .(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.6.抛物线 中, 的作用(1) 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样.(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,4故: 时,对称轴为
11、 轴; (即 、 同号)时,对称轴在 轴左侧; (即 、异号)时,对称轴在 轴右侧.(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.当 时, ,抛物线 与 轴有且只有一个交点(0, ): ,抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴; ,与 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧,则 .7.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式: .已知图像上三点或三对 、 的值,通常选择一般式.(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式: .12.直线与抛物线的交点(1) 轴与抛物线 得交点为(0,
12、 ).(2)与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).(3)抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点 抛物线与 轴相交;有一个交点(顶点在 轴上) 抛物线与 轴相切;没有交点 抛物线与 轴相离.(4)平行于 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 ,则横坐标是 的两个实数根.(5)一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组 的解的数目来确定:方程组有两组不同的解
13、时 与 有两个交点; 方程5组只有一组解时 与 只有一个交点;方程组无解时 与 没有交点.(6)抛物线与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 ,由于 、 是方程 的两个根,故练一练:1、如图,二次函数 的图象开口向上,图像经过点(-1,2)和(1,0)且与 y轴交cbxay2于负半轴(以下有(1)、(2)两问,每个考生只须选答一问,若两问都答, 则只以第(2)问计分) 第(1)问:给出四个结论: 0; 0; 0; c a+b+c=0其中正确的结论的序号是 (答对得 3分,少选、错选均不得分)第()问:给出四个结论:abc0;2a+ 0;a+c=1;a1其中正确的结论的序号是 b (答
14、对得5分,少选、错选均不得分)2、二次函数 的图像可能是 22axy 【 】3、 如图,已知二次函数 的图像经过点 A 和24yaxc 点B(1)求该二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点 P( m, m) 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 ( 其 中 m 0) , 且 这两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 , 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴 的距离4、 有一抛物线的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为 4m,跨度为 10m, 如图所示,把它的图形放在直角坐标系中求这条抛物线所对应的函数关系式;如图,在对称轴右边 1m 处,桥洞离水面的高是多少?xyO 3911ABA.xyB.xyC.xyD.xy6【参考答案】: 1、(1), (2),2、B.3、解:(1)将 x=-1,y =-1;x=3,y=-9 分别代入 得cxay42解得 .349,)()(2ca.6,1ca二次函数的表达式为 42xy(2)对称轴为 ;顶点坐标为(2,-10)x(3)将(m,m)代入 ,得 ,6642m解得 m0, 不合题意,舍去12,61 m=6 点 P 与点 Q 关于对称轴 对称,2x点 Q 到 x 轴的距离为 64、y0.16x 21.6x;3.84m
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