1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：如果先做定积分 ，再做二重积分 ，就是21),(zdzyxf DdyxF),(“投影法” ，也即“先一后二” 。步骤为：找 及在 xoy 面投影域D。多 D 上一点（x,y） “穿线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分） ；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成“后二”这一步。 dzyxfdvzyxfDz21),(),(如果先做二重积分 再做定积分 ，就是“截zDyxf),(21)(cF面法” ，也即“先二后一” 。步骤为：确定 位于平面 之21
2、cz与间，即 ，过 z 作平行于 xoy 面的平面截 ，截面 。区域,21czzD的边界曲面都是 z 的函数。计算区域 上的二重积分zDzD，完成了“先二”这一步（二重积分） ；进而计算定积zdyxf),(分 ，完成“后一”这一步。21)(cF dzyxfdvzyxfcDz ),(),(21当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x,y 无关） ，且 的面积z容易求出时， “截面法”尤为方便。)(z为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域 投影到 xoy 面，得投影区域D(平面 )（1） D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当 的边界
3、曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分） ，且被积函数形如 时，)(,(2xyfxf可选择柱面坐标系计算（当 为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3） 是球体或球顶锥体，且被积函数形如 时， )(22zyxf可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对 向其它坐标面投影或 不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法” ，要视积分域 及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： 是 在 z 处的截面，其边界曲线zD方程易写错，故较难一些。特殊地，
4、对 积分时，f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算 。因而zDzDS中只要 , 且 f(x,y,z)仅含 z 时，选取“截面法”更ba佳。2.对坐标系的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z 或 时，可考)(2yxf虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例 1：计算三重积分 ，其中 为平面 与三个坐标面zdxyI 1zyx围成的闭区域。0,yx解 1“投影法” 1.画出 及在 xoy 面投影域 D. 2. “穿线” yxz10X 型 D： xy10 ：yxz3.计算 10 103221010102 )1()()( dxyxydy
5、xdzdyxzdyI xx4236)(6110 33解 2“截面法”1.画出 。2. 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 。,0z zD是两直角边为 x,y 的直角三角形，zDyx1,3.计算 101010 z zz DDD dSddxyzdxyI 10321010 41)()(2)( zxyz补例 2：计算 ，其中 是 和 z=1 围成的闭区域。dvyx222zyx解 1“投影法”1.画出 及在 xoy 面投影域 D. 由 消去 z，12z得 即 D： 2yx12yx2. “穿线” ，2zX 型 D： 2211xyx 11:22zyx3.计算 xy x dyxydzxddv111 222
6、222 22 6)1(注：可用柱坐标计算。解 2“截面法”1.画出 。 2. 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 ：1,0z zD22yx： zDzr0用柱坐标计算 12:zr3.计算 10 102101030322 622zDz zdzrdrdzxydvyx 补例 3：化三重积分 为三次积分，其中 ：dxyzfI),( 所围成的闭区域。22z及yxz解：1.画出 及在 xoy 面上的投影域 D. 由 消去 z，得2xzy12yx即 D： 12yx2.“穿线” 2xzX 型 D： 2211y：22xzyx3计算 12),(),(xxydzfddyzfI注：当 为已知的解析式时可用柱坐标计算
7、。),(zyxf补例 4：计算 ，其中 为 所围成的闭区域。dv 226yxzyxz及解 1“投影法”1.画出 及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标计算由 化 的边界曲面方程为：z=6-zryxsincor2，z=r2.解 D： 即26rz得 r20r“穿线” 2rr26:rzr3计算 Dr r rdzddzzdv2 2 26206201。2052202 39)13()( rrrr解 2“截面法”1.画出 。如图： 由 围成。rzz及262. 6,2,06,z 21由 z=r 与 z=2 围成； ， ：1,0zzDr： 120zr由 z=2 与 z= 围成； ， ：266,2zzDzr6：2
8、0zr3.计算 =zdv062112 z zDDdrdrdv 0622362206220 39)()()(1 dzzzSzD注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标 r 代换。补例 5：计算 ，其中 由不等式 ，dvyx)(2Azyxa22所确定。0z解：用球坐标计算。由 得 的边界曲面的球坐标方程：cosinzyAaP ，连结 OP= ，其与 z 轴正向的夹角为 ，OP=。P 在 xoy 面的投影为 ，连结 ，其与 x 轴正PO向的夹角为 。 ： ， ，Aa20= 20222 sin)i()(Aaddvyx 20531sindAa= )(15432)(52sin)(52 552035 aAaAdaA 三重积分的计算方法练习1. 计算 ，其中 是旋转面 与平面 z=2,z=8 所dvyx)2（ zyx22围成的闭区域。2. 计算 ，其中 是锥面 与球面 所dvzx)（ 2yxz21yxz围成的闭区域。为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。
