不定积分解题方法及技巧总结.doc

1、不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循” 。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。1.利用基本公式。 （这就不多说了）2.第一类换元法。 （凑微分）设 f()具有原函数 F() 。则 CxFdxfdxf )()( 其中 可微。)(用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下

2、一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2：例 1： dxx)1(lnl【解】 )1(ll x Cxxddxx 2)ln1(l2)lnln)(l)1(lnl例 2： 2)l(【解】 xxln1Cxdln1)l()(223.第二类换元法：设 是单调、可导的函数，并且 具有原函数，)(tx )(.0)( tft又 设则有换元公式 dttfdxf)()(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： achtxtxtaxstt；： ；： ；： ssec)3( on2i)1(2

3、2 也 奏 效 。， 有 时 倒 代 换当 被 积 函 数 含 有： txcbxatdcxbmnn 1)6(542 （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用 代去根号。 CxxCtt dtdxd sin2co2sin2co )o(sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号， cxdtdttxd 6121256 21212arsin（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用 代去根号。tCxxCtt ddd sin2co2sin2co )co(sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，cxdtdtttxd 6121256 21212arsin4.分部积分法.公式： dd分部积分法采用迂回的技巧，规避

4、难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取 时，通常基于以下两点考虑：、（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧！例 3： dxx21arcos【解】观察被积函数，选取变换 ,则xtarcos tddttx3323 )in(sicarc Cxxxtttt dtttt arcos1)2(3919cossin3cs)1i3(1nssin3)si1()( 23232例 4： xd2arcsin【解】 dxx222 1arcsinsiiCxxx dxxdx2arcsin12arcsin1arcsiarcsi 2222上面的例 3，降低了多项式系数；例 4，简化了被积函

5、数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在 中， 的选取有下面简单的规律：dd、选 取 的 函 数 不 能 改 变 。，会 出 现 循 环 ， 注 意， ， )3(sin,co)(art,ln2c,i)()1( xePxePa mxm将以上规律化成一个图就是：但是，当 时，是无法求解的。xxarcsinln，对于（3）情况，有两个通用公式： CbxabedxbeIxaxaxx )sinco(cosii221（分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到分部积分）5 不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数 上下同乘

6、 变形为dxx22cosin1xsinco1s2令 ，则为xuco （lnx arcsinx） Pm(x)（ax sinx)cxduuud 2se41tanl21olnco )1421(2222.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意 的1cosin22x使用。 cxxddxxdx 82tanl21cosin21 )4/i(cosn1s21cosin 2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3. 函数的降次形如 积分（m，n 为非负整数）的cosinxdnm当 m 为奇数时，可令 ，于是ucos，duxd

7、x nmnmn 211cosis转化为多项式的积分当 n 为奇数时，可令 ，于是x， ud umnmnm 211iscoi同样转化为多项式的积分。当 m，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：,2cos1cosi,2in1s2xxx不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。 形如 和 的积分（n 为正整数）xdntaxdcot令 ，则 ， ，从而xdutanuarctn21udx,12unn已转化成有理函数的积分。类似地， 可通过代换 转为成有理函数的积分。xdncotxcot形如 和 的积分（n 为正整数）nsems当 n 为偶数时，若令 ，则 ，于是xuta21,arctnud

8、xu dxdnnn 1222211sec已转化成多项式的积分。类似地， 可通过代换 转化成有理函数的积分。n xucot当 n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。4.当有 x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。 cxx xdxddx 2os81sin41 2sin412in4co2cos1si2 225.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数 先化为多项式和真分式 之和，再把 分解为若干)(xQP)(*xQP)(*xQP个部分分式之和。 （对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：nnxadI)(2）12122 )(3)(nnn IaI1.有理真分式化为部分

9、分式之和求解简单的有理真分式的拆分cxxdxd44341ln注意分子和分母在形式上的联系cxx ctdtdxd 3ln3ln13377 7767此类题目一般还有另外一种题型：cxdxd52ln152122.注意分母（分子）有理化的使用 Cxxxxd 232311423123例 5： d2346)(【解】 2323462346 )1()()1( xxx 23)1(4x224242322 )1()1()1(4)ln( xdxdxdxC CxCd )1(1)1()(222 2故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式： 2tan1cost2ansi2xxx的积分，但由于计算较烦，化 为 有

10、理 函 数可 用 变 换 t)cos,(indxQP应尽量避免。对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成 。再用待定系数 xsincoi或来做。 （注：没举例题并不代表不重要 ）xbaBxAsinco)si()is(（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现 时，可令 ；同x1和 tx2an时出现 时，可令 ；同时出现 时，可令x1和 tx2sinarcsi2和x=sint；同时出现 时，可令 x=cost 等等。arco2和（4）善于利用 ，因为其求导后不变。xecxectdtt xedxedexxxx 1ln1ln11这道题

11、目中首先会注意到 ，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求xe导后为 与分母差 ，另外因为 求导后不变，所以容易想到分子分母x x同乘以 。e（5）某些题正的不行倒着来cyydydudududuuxtantantansese11ln1ln1sinln222 2222cxxdxdxx cotsinlcotsinsinlcotlotsi原 式 2这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用 ，然而这样xusin的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来” ，当这类一般的换元法行不通时尝试下 。这种思路类似于证xusin 1明题中的反证法。（6）注意复杂部分求导后的导数 dtetx

12、dxx221lnln1注意到: ttteyey2332321163212-ytt cxexctt dtetdetdedt ln3ln23 21322611l3 332本题把被积函数拆为三部分： ， 的分子为分母的导数， 的值为21,y1 2y1， 的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在3y竞赛中出现。（7）对于 型积分，考虑 的符号)0(,(2adxcbaxR acb42来确定取不同的变换。如果 ，设方程 两个实根为 ，令02 ,，xtcbax可使上述积分有理化。如果 ，则方程 没有实根，令002，txacbax可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设，2至于采用哪种替换，具体问题具体分析。