专升本高等数学知识点汇总.doc

1、专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1） 一般形式的定义域：xRcbayk2（2） 分式形式的定义域：x0（3） 根式的形式定义域：x0y（4） 对数形式的定义域：x0alog二、函数的性质1、函数的单调性当 时，恒有 ， 在 所在的区间上是增加的。2x)(21xfff21x，当 时，恒有 ， 在 所在的区间上是减少的。1，2、 函数的奇偶性定义：设函数 的定义区间 关于坐标原点对称（即若 ，则有 ）)(xfyDDxx(1) 偶函数 ，恒有 。)(xff(2) 奇函数 ，恒有 。)(xf三、基本初等函数1、常数函数： ，定义域是 ，图形是一条平行于 轴的直线。c

2、y),(x2、幂函数： ， ( 是常数)。它的定义域随着 的不同而不同。图形过原点。uxu3、指数函数定义: ， ( 是常数且 ， ).图形过（0,1）点。xafy)( 0a14、对数函数定义: ， ( 是常数且 ， )。图形过（1,0）点。falog)(5、三角函数(1) 正弦函数: xysin， ， 。2T),()fD1,)(Df(2) 余弦函数: .cos， ， 。),()f ,)(f(3) 正切函数: .xytan， ， .T ,2)1(,|)( ZRkfD),()Df(4) 余切函数: .xycot， ， .,|)(kf ),()f5、反三角函数(1) 反正弦函数: ， ， 。xys

3、inarc1,)(fD2,)(f(2) 反余弦函数: ， ， 。 o0(3) 反正切函数: ， ， 。xyarct ),()f ),(Df(4) 反余切函数: ， ， 。D极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。 ”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则设 ， ，则AuxlimBvxli（1） Auxlim)(（2） . vvxxlili推论（a) ，

4、( 为常数)。Cxxli)(li（b） nnum（3） ， ( ).BAvuxxlili 0（4）设 为多项式 ， 则)(Pnnaxa10 )(lim00xPx（5）设 均为多项式， 且 ， 则 ,xQ)(Q)(li00Qx三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当 时， ， ， ，0xxsintaxrctan， ， ， 。xarcsin)1l(e121co对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当 时， ，其余类0 si似。四、两个重要极限重要极限 I 。1sinlm0x它可以用下面更直观的结构式表示： 1 sinl0 重要极限 II 。exx1li其结构可以表示为： e 1lim八

5、、洛必达(LHospital)法则“ ”型和“ ”型不定式，存在有 （或 ） 。0Axgfxfaa)(lim)(li 一元函数微分学一、导数的定义设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点)(xfy0 x0x仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 。如果当x0 y)(0ffy时，函数的增量 与自变量 的增量之比的极限yx= = 注意两个符号 和 在题目中可能换成其0limxy0lixxff)(0）（ 0f x0他的符号表示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式（1） ( 为常数) 0)(C（2） （ 为任意常数）1x（3） 特殊情况 aln)( ),(xe)(（4） ，

6、 axexalnogl1,0(ax1)(ln（5） cs)(si（6） xi（7） 2cos1)(tan（8） xx2sin1)(cot（9） 2ari )1(（10） )()(rcos2 xx（11） 21atn（12） )co(xr2、导数的四则运算公式（1） )()(vuvxu（2） xx（3） （ 为常数） k（4） )()(2xvuxvu3、复合函数求导公式：设 , ，且 及 都可导，则复合函数fy)(x)(ufx的导数为 。)(xfy.ufdx三、导数的应用1、函数的单调性则 在 内严格单调增加。0)(xf)(f,ba则 在 内严格单调减少。2、函数的极值的点 函数 的驻点。设为0

7、)(xf )(xf0x（1）若 时， ； 时， ，则 为 的极大值点。0f0)(f)(0xff（2）若 时， ； 时， ，则 为 的极小值点。0x)(x（3）如果 在 的两侧的符号相同，那么 不是极值点。f )(0xf3、曲线的凹凸性，则曲线 在 内是凹的。0)(xf )(xfy,ba，则曲线 在 内是凸的。4、曲线的拐点（1）当 在 的左、右两侧异号时，点 为曲线 的拐点，此时)(xf0 )(,0xf)(xfy.0f（2）当 在 的左、右两侧同号时，点 不为曲线 的拐点。)(xf0 )(,0xf )(xfy5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公

8、式，求微分就是求导数。dxfy)(一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质（1） 或)()(xfdf dxffd)()(（2） 或CF CF（3） 。 dxxfxxf )()()()()( （4） （ 为常数且 ） 。dfkk02、基本积分公式（要求熟练记忆）（1） Cdx0（2） .)1(1aa（3） . xln（4） Cadxxln1)1,0(a（5） e（6） xcossi（7） Cdin（8） .xtacos12（9） . cin（10） .Cxdxarsin12（11） .ct23、第一

9、类换元积分法对不定微分 ，将被积表达式 凑成dxg)(dxg)(，这是关键的一步。)( ffx常用的凑微分的公式有：（1） )()(1)( baxdfadbf （2） )(fkxx kkkk（3） dff21)(（4） xfxf 1)(2（5） )(xede（6） )(ln1lnff（7） siicos)(i xx（8） )(codfdf（9） tantcos1)(tan2xx（10） )(ciff（11） )(arcsin)(rsi1)(arcsin2 xdfdxxf （12） )(ro)(r)(ro2fxf（13） actnt1actn2 xdfdf（14） )(l)( xx)0(4、分部

10、积分法vduu二、定积分公式1、 （牛顿莱布尼茨公式） 如果 是连续函数 在区间 上的任意一个原函数，)(xF)(xf,ba则有 。)()( abdxfba2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线及两条直线 和 所)(),(21xfygx1b2围成的（其中 是下面的曲线， 是上面的曲线） ，12y则其面积可由下式求出： .)(dxgfSba3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线 和直线 及 轴所围平)0()xfy )(,baxx面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋x转体的体积 可由下式求出：V.)()(22dxfdfbabax多元函数微分学1、 偏导数，对某个变量

11、求导，把其他变量看做常数。)(xfy)(gya o b xo a x x+dx b xy (f2、全微分公式： 。yBxAydfz),(3、复合函数的偏导数利用函数结构图如果 、 在点 处存在连续的偏导数 ， ， ，),(xu),(v),( xuyxv，且在对应于 的点 处，函数 存在连续的偏导数 ， ，则yv),(y),(u),(vufzzv复合函数 在点 处存在对 及 的连续偏导数，且,xfz),(yxy， 。vxu vzuyz4、隐函数的导数对于方程 所确定的隐函数 ，可以由下列公式求出 对 的导数 ：0),(yxF)(xfyyxy，),(yy2、隐函数的偏导数对于由方程 所确定的隐函数

12、 ，可用下列公式求偏导数：0),(zxF),(yxfz， ，),(yxzzx),(yxFz5、二元函数的极值设函数 在点 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且),(0xf),(0， 又设 ， ，),(0yfx yAyxf),(0 Byxf),(0，Cy则：（1）当 时，函数 在点 处取得极值，且当02AB),(yxf),(0 0A时有极大值，当 时有极小值。（2）当 时，函数 在点 处无极值。2C),(f),(0（3）当 时，函数 在点 处是否有极值不能确定，要用其它方0yx法另作讨论。平面与直线1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点 ，以 为),(00zyxM,CBAn

13、法向量的平面方程为称之为平面的点法式方程)()()( 000 zCyBxA（2）平面的一般式方程 称之为平面的一般式方程Dz2、特殊的平面方程 表示过原点的平面方程0CByAx表示平行于 轴的平面方程Oz表示过 轴的平面方程yx表示平行于坐标平面 的平面方程0DCz xy3、两个平面间的关系设有平面 0:111 DzCyBxA222平面 和 互相垂直的充分必要条件是：1 02121CBA平面 和 平行的充分必要条件是：12 22D平面 和 重合的充分必要条件是：12 2121CBA4、直线的方程（1）直线的标准式方程 过点 且平行于向量 的直线方程),(00zyxM,pnms称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程） 。pznymx00常称 为所给直线的方向向量,s（2）直线的一般式方程