不动点定理及其应用(高考).doc

1、I摘 要本文首先介绍 Banach 空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词 ：Banach 不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.AbstractThis article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dime

2、nsional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our coun

3、try recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.Keywords:Banach fixed po

4、int theorem, Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.ii目 录第 1 章 绪论 .11.1 导论 .11.1.1 选题背景 .11.1.2 选题意义 .21.1.3 课题研究内容 .21.2 研究现状 .21.3 本章小结 .3第 2 章 不动点定理 .42.1 有关概念 .42.2 不动点定理和几种推广形式 .42.3 本章小结 .7第 3 章 不动点定理在数列中的应用 .83.1 求数列的通项公式 .83.2 数列的有界性 .93.3 数列的单调性及收敛性 .113.3.1 数列的单调性、收敛性的重要结论 .113.3.

5、2 数列的单调性、收敛性的证明 .143.4 本章小结 .17第 6 章 结束语 .18参考文献 .19iii第 1 章 绪论1.1 导论不动点理论的研究兴起于 20 世纪初,荷兰数学家布劳维在 1909 年创立了不动点理论 1在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想美国数学家莱布尼茨在 1923 年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论 21927 年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念 3我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理 4不动点理论一个发展方向是只限

6、于欧氏空间多面体 5上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)6，他于 1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理 6这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论1.1.1 选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的“不动点 “理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推

7、公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2 选题意义利用“不动点 ”法巧解高考题 ，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键与递推关系对应的函数的“不动点” 决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“ 不动

8、点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.ii1.1.3 课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题1.2 研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不

9、懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在 1910 年发表的关于流形的映射 2一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数 把单位闭区间 映到 中，()fx0,1,01则有 ，使 .波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解0,1x0()fx答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就

10、是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.1.3 本章小结本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对iii不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.

11、第 2 章 不动点定理2.1 有关概念函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数的取值过程中，如果有 ,使 .就称 为 的一个不动点()fx0x0()fx0()fx对此定义，有两方面的理解：代数意义：若方程 有实数根 ，则 有不动点 0()f00)(f0x几何意义：若函数 与 有交点 ，则 为 的不xyy,yx()yf动点为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.定义1 7 度量空间: 设 是一个集合， .如果对于任何 ，XRX:Xzyx,有（正定性） ,并且 当且仅当 ；(,)0xy(,)0xyyx（对称性） ；（三角不等式） ，(,)(,)(,)zz则称 是集

12、合 的一个度量 ,偶对 是一个度量空间 .XX定义2 7 压缩映射：给定 如果对于映射 : 存在常数 , 使TXK10得 ， 则称 是一个压缩映射.(,)(,)TxyKx,)y定义3 7 Cauchy 列 ：给定 , ,若对任取的 ,有自然数 使对(nxN,都成立 则称序列 是Cauchy列.Nnm,(,)mn定义4 7 完备度量空间：给定 ，若 中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.(,)X定义5 8 不动点：给定度量空间 及 的映射 如果存在 使TXTXx*则称 为映射 的不动点 .*xT*T定义6 9 凸集：设 是维欧式空间的一点集，若任意的两点 的连线上x21,的所有的点 ;则

13、称 为凸集 .)10(,)1(2Xx2.2 不动点定理和几种推广形式ii不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成 的形状这里的 是()fxx某个适当的空间 中的点， 是 到 的一个映射，把每个 移到 .方程XfX的解恰好就是在 这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的()fx问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明定理l （Banach 不动点定理 压缩映射原理 10）设 是一个完备的度量空(,)X间

14、是 到其自身的一个压缩映射,则 在 中存在惟一的不动点.T()XT证明 首先,证明 存在不动点T取定 以递推形式 确定一序列 是Cauchy 列.事实上，由x0 nx1nx1 1122120(,)(,)(,)(,),mmmmKTx任取自然数 ,不妨设 那么nn1111 000()()(,)()(,)mnmmnnxxxKxKKx 从而知 是一Canchy 列,故存在 使 且 是 的不动点,因为nxXx*nT* *1(,)()(,)(,)()()nn nTxTxx 故 ,即 ,所以 是 的不动点.0*其次,下证不动点的惟一性设 有两个不动点 ,那么由 及 有T*1x*xT*1*1 1()(,)(,

15、)Kx设 ,则 ,得到矛盾，从而 ，唯一性证毕.*1x*1(,)0*1作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2 设 是 Banach空间， 为 中非空紧凸集， 是连续EXEXf:iii自映射，则 在 中必有不动点.fXSehauder不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意 ，Xx是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称xf其为Schauder不动点定理II：定理3 设E是 Banach空间， 为 中非空凸集， 是紧的连续自映射，则

16、XEXf:在 中必有不动点.fX定义6 设 是线性拓扑空间，如果 中存在由凸集组成的零邻域基，则称 是局部凸E的线性拓扑空间，简称局部凸空间.1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理：定理4 设 是局部凸线性拓扑空间， 是其中的非空紧凸集， 是连续自EXXf:映射，则 必有不动点，即存在 ，使得 .fx00()fx1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder-Tychonoff不动点定理

17、：定理5 设 是局部凸线性拓扑空间， 是其中的非空凸集， 是紧连续自EXXf:映射，则 必有不动点，即存在 ，使得 .fx00()fx从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点，定义如下：定义7 设 是拓扑空间， 是集值映射，其中 表示 的所有非空子集XXT2:X2的集合.若存在 ，使 ，则称 是 的不动点.x00()x0xT1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：定理6 设 是凸紧集，且 是具闭凸值的上半连续集值映射，则mRXXT2:必有不动点.T1950年，B

18、otmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：定理7 设 是Banach空间， 是 中的非空紧凸集， 是具有闭凸值的上EEXT2:半连续集值映射，则 必有不动点.T1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-FG不动点定理.即：ii定理8 设 是局部凸的Hausdorff线性拓扑空间， 是 中的非空紧凸集，EXE是具有闭凸值的上半连续集值映射，则 必有不动点.XT2:T1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理

19、，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：定理9 设 是 Hausdorff线性拓扑空间E中的非空凸紧子集，集值映射 满X XS2:足：(1)对任意 ， 是 中的非空凸集x()S(2)对任意 是Z中的开集1,:()yxXySx则存在 ，使 .X00()本章小结 本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式.第3章 不动点定理在数列中的应用在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决 “不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动

20、点”的影子以全国卷 I 为例，2007 年，2008 年、2010 年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1 求数列的通项公式定理 10 已知数列 满足 ,其中 ，设nxdcxbafxfn,1 0,bcadc是 唯一的不动点，则数列 是一个等差数列.pxf pn证明 因为 是 唯一的不动点，所以 是方程 ，亦即 是一元二次方pxf dcxbap程 的唯一解.得02badcxiiiapcdbcap2,2所以 dcxpa dcxapdcxabpxn nnnn 1 1211pxcadppx

21、cdcnnn 11把 代入上式，得:cdap2 pxdacpxnn121令 ，可得数列 是一个等差数列.dack2n在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列 的首项，数列的递推关系，求数nx列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.例 1 若 （ ，且 ）求数列 的通项公式.12,nnaa*N2na解 根据迭代数列 ，构造函数 ，易知 有唯一的不动点1nn xf1f，1p根据定理 可知 ，2,1,0dcba则11nnaii即数列 是以首项 ，公差为 的等差数列.则对应的通项公式为1na21nnan 211解得 an213又 也满足上式.所以 的通项公式为 .n

22、anan213对于此类形式的数列，已知数列 满足 ,其中nxdcxbafxfn,，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答 .即数列 是0,bcadc 1n以首项 ，公差为 的等差数列.1d2推论 已知数列 满足 ,其中 ，设 是 唯一nxbaxfxfn,1 0apxf的不动点，则数列 是一个公比为 等比数列p例 2 若 ， （ ，且 ） ，求数列 的通项公式.32,11naa*N2n解 根据迭代数列 ，构造函数 ，易知 有唯一的不动3xfxf点 ，3p根据推论 可知 ，3,2ba则321nnaa所以 321nna所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，则当 时，有 ，nn故 32na又 也满足上式.1所以 的通项公式为 .n 32na在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知 及递推公式，求1a