1、- 1 -初中数学圆【知识结构】侧 面 积 、 全 面 积 计 算侧 面 展 开 图定 义圆 柱 和 圆 锥 形 面 积 计 算圆 面 积 、 扇 形 、 组 合 图 形 周 长 计 算圆 周 长 、 弧 长 、 组 合 图画 法 应 用边 长 、 面 积 的 计 算 计 算半 径 、 边 心 距 、 中 心 角计 算概 念正 多 边 形正 多 边 形 与 圆 内 含内 切相 交外 切外 离圆 和 圆 的 位 置 关 系 切 割 线 定 理 及 推 论相 交 弦 定 理 及 推 论相 交性 质判 定相 切相 离直 线 和 圆 的 位 置 关 系反 证 法点 的 轨 迹 圆 内 接 四 边 形圆
2、 周 角 定 理 距 之 间 的 关 系圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心垂 径 定 理 及 推 论基 本 性 质三 点 定 圆 定 理点 与 圆 的 位 置 关 系定 义圆 的 有 关 性 质圆- 2 -1、圆及与圆相关的概念二、圆的对称性（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。（2）对称轴直径所在的直线，对称中心圆心。三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；知 2 推 3 定理： 是直径 弧ABABCDE弧 弧 弧BCDC推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中
3、，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。知 1 推 3 定理： ； ； ； 弧 弧AOBDEABOCFBAD五、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。2、推论：1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。六、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。七、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外
4、 点 在圆外；A8、三点定圆定理三角形外接圆1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。九、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；OE DCBA OC DA BFEDC BAOCBAOD CBAOCB AOEDCBA- 3 -drd=rr d十、切线的性质与判定定理1、判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线（两个条件，缺一不可）2、性质定理：切线垂直于过切点
5、的半径推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。十一、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。十二、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径 r= 。 2cba（3）S ABC = ，其中 a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径。)(21cbar（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC 切O 于点 B，AB 为弦，ABC 叫弦切角，AB
6、C=D。 十三、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；内含（图 5） 无交点 ；r周1rRd周3rRd十四、 圆内正多边形 的计算（1）正 三角形 在 中O是正三角形，有关ABC计算在 中进行：RtOD:1:2DB；DCB AO周2rRd 周4rRd周5rRdNM AOPBAOB OA D- 4 -（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2AEO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行，B.:1:32ABO十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长
7、公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 236Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形nR弧长 ：扇形面积S2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： V3、圆锥侧面展开图（1） =侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13h十六、补充定理一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即： PABCD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即： 2E2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即： 2PACB3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等即： CBDE二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。ECBA DOBAOS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBA PO DCBAO EDCB AD EC BPAOBAO1 O2B1RrC BAO- 5 -三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 2CO2O1BA
