中考数学综合题专题复习【圆】专题解析.doc

1、数学专题之【圆】精品解析1中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一. 教学内容：1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6）切线长定理。（7）相交弦、切割线、割线定理。（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。（11）正 n 边形的有关计算。二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题

2、中所占的分数比例大约如下表： 内 容 圆 的 有 关 性 质 直 线 和 圆 的位 置 关 系 圆 与 圆 的 位 置关 系 正 多 边 形 和 圆 所 占 分 数 百 分 比 5% 15% 8% 16% 3% 12% 2% 8% 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图：圆 圆 的 有 关 性 质直 线 和 圆 的 位 置 关 系圆 和 圆 的 位 置 关 系正 多 边 形 和 圆数学专题之【圆】精品解析2圆 的 有 关 性 质 圆 的 定 义 点 和 圆 的

3、 位 置 关 系 （ 这 是 重 点 ）不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 确 定 一 个 圆圆 的 有 关 性 质 轴 对 称 性 垂 径 定 理 （ 这 是 重 点 ）旋 转 不 变 性 圆 心 角 、 弧 、 弦 、 弦 心 距 间 的 关 系圆 心 角 定 理圆 周 角 定 理 （ 这 是 重 点 ）圆 内 接 四 边 形 （ 这 是 重 点 ）直 线 和 圆 的 位 置 关 系 相 离相 交相 切 切 线 的 性 质 （ 这 是 重 点 ）切 线 的 判 定 （ 这 是 重 点 ）弦 切 角 （ 这 是 重 点 ）和 圆 有 关 的 比 例 线 段 （ 这 是 重 点 难 点 ）

4、圆 和 圆 的 位 置 关 系 外 离内 含相 交相 切 内 切 （ 这 是 重 点 ）外 切 （ 这 是 重 点 ）两 圆 的 公 切 线正 多 边 形 和 圆 正 多 边 形 和 圆 正 多 边 形 定 义正 多 边 形 和 圆正 多 边 形 的 判 定 及 性 质正 多 边 形 的 有 关 计 算 （ 这 是 重 点 ）圆 的 有 关 计 算 圆 周 长 、 弧 长 （ 这 是 重 点 ）圆 、 扇 形 、 弓 形 面 积 （ 这 是 重 点 ）圆 柱 、 圆 锥 侧 面 展 开 图 （ 这 是 重 点 ）【典型例题】【例 1】. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒 0.9cm，点导火索的人

5、需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域。这个导火索的长度为 18cm，那么点导火索的人每秒钟跑 6.5m 是否安全？分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以 120m 为半径的圆的外部，如图所示：数学专题之【圆】精品解析3O 120m 爆 破 中 心 安全区域 解： 导 火 索 燃 烧 的 时 间 为 8092.()s相 同 时 间 内 ， 人 跑 的 路 程 为 6513m人 跑 的 路 程 13m点导火索的人非常安全【例 2】. 已知梯形 ABCD 内接于O，ABCD，O 的半径为 4，AB6，CD2，求梯形ABCD 的面积。分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦 AB、CD 间距离

6、，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作 OECD 于 E，延长 EO 交 AB 于 F，证OFAB。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解：分两种情况讨论：（1）当弦 AB、CD 分别在圆心 O 的两侧时，如图（1）：过 O 作 OECD 于 E，延长 EO 交 AB 于 F连 OC、OB，则 CEDEABCD，OECDOFAB，即 EF 为梯形 ABCD 的高在 RtOEC 中，EC1，OC4EC2215同 理 ， OF75SABCD梯 形 126741574157（2）当弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧时，如图（2）：数学专题之【圆】精品解析4过 O 作

7、 OECD 于 E，交 AB 于 F以下证法同（1） ，略。F57SABCD梯 形 1265741574157梯 形 的 面 积 为 或【例 3】. 如图，已知 AB 为O 的直径，P 是 OB 的中点，求 tanCtanD 的值。分析：为了求 tanCtanD 的值，需要分别构造出含有C 和D 的两个直角三角形。而 AB 是直径，为我们寻找直角创造了条件。连 BC、BD，则得到 RtACB 和 RtADB。可以发现ACDABD，ADCABC，于是，可以把 tanCtanD 转化为tantan ， 则 可 求 。ABDCADBACB解：连结 BC、BDAB 是O 的直径，ACBADB90ACD

8、ABD，ADCABCtanttantanCDACADBACB 作 AECD 于 E，作 BFCD 于 F则AECADBABACADAEAB同理，BDBCBFAB数学专题之【圆】精品解析5tantCDAEBFAPEBPF BFPP 为半径 OB 的中点 ， AE313tanCtanD3【例 4】. 如 图 ， 是 等 边 三 角 形 ， 是 上 任 一 点 ， 求 证 ：BCDBCDBCA分析：由已知条件，等边ABC 可得 60角，根据圆的性质，可得ADB60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段 DC。证明：延长 DB 至点 E，使 BEDC，连结 AEA

9、BC 是等边三角形ACBABC60，ABACADBACB60四边形 ABDC 是圆内接四边形ABEACD在AEB 和ADC 中，BECDA AEADADB60AED 是等边三角形ADDEDBBEBEDCDBDCDA说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长 DC 至 F，使 CFBD，连结 AF，再证ACFABD，得出 ADDF，从而DBCDDA。数学专题之【圆】精品解析6（2）在 DA 上截取 DGDC，连结 CG，再证BDCAGC，得出 BDAG，从而DBCDDA。【例 5】. 如图，已知四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，ADDC，分别延长 BA、CD交于点 E，BFEC 交

10、EC 的延长线于 F，若 EAAO，BC12，求 CF 的长。分析：在 RtCFB 中，已知 BC12，求 CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：连结 OD，BDADCD， ABCAODODBC OBEEAAO，EAAOBOCDO12238， ， AB16，BE24四边形 ABCD 内接于OEDAEBCE 是公共角EDAEBC ADBCE设 ADDCx，EDy，则有1248解 方 程 组 ， 得 ： x42ADAB 为O 的直径ADBF90又DABFCBRtADBRtCFB数学专题之【圆】精品解析7ADCFBF， 即 42163说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。

11、此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。【例 6】. 如图，已知等腰ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 、 ， 过 作 的 切 线 交 于 ， 若 ， ， 求 的 长 。FDOFCEA7cosBCE35解：连结 FDAB 是直径，ADBCABAC，BDDC，FADDAB四边形 ABDF 是圆内接四边形CFDBC 是公共角ABCDFC CDAFBABACCDDF（也可以证CFDB，ABAC，BC，CCFD，CDDF。 ）DE 切O 于 DFADEDF又CDEEDFFADDABCDEDABCDEE

12、DFCDFDCEEF，DECFcosBC35， C数学专题之【圆】精品解析8在 中 ，RtACDCcos35设 CD3x，AC5x在 中 ， ， 即tEExx95ACF2718xEC9【例 7】. 如图，相交两圆的公共弦长为 120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解：公共弦 AB120aR46120r642603OaRABo144012， ，r Oo42422260609， SSarAmBOBA弓 形 扇 形 229318360424Rrn弓 形 扇 形116026SSAmBn阴 影 弓 形 弓 形 431两 圆 相 交 弧 间 阴 影

13、部 分 的 面 积 为 20632cm数学专题之【圆】精品解析9【例 8】.一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的 20 支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为 0.75cm，长约为8.4cm。（1）试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值） 。（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精 确 到 ， 取 ）0.cm317.解题点拨：四边形 ABCD 中，AD 长为 7 支香烟的直径之和，易求；求 AB 长，只要计算出如图（2）中的 O1E 长即可。解：（1）如图（2） ，作 O1EO 2O3O

14、230754.E148ABcm233Dc741四边形 ABCD 的面积是：2136312（2）制作一个烟盒至少需要纸张：61484106412 .cm数学专题之【圆】精品解析10【例 9】. 在直径为 20cm 的圆中，有一弦长为 16cm，求它所对的弓形的高。解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。 H A B C O G 如图，HG 为O 的直径，且 HGAB，AB16cm，HG20cmOHcmBCAcm10128，22064Gc61故所求弓形的高为 4cm 或 16cm【例 10】. cm3ADc2=CA2cmBO求：CAD 所夹圆内部分的面积。解：符合题设条件的图形有两种情况：（1）圆心 O 在CAD 的内部，如图（1） ，连结 OC、OD，过 O 作 OEAD 于点 EOAC12，OCABSBOC1 19036124扇 形 ED2，EA1312， 即