习题四解答.doc

1、习题四解答A 类1求下列级数的收敛半径。（1） 02nz； （2）0!nz； （3） 0!nz。解（1）21limlilim/111nnnaR;（2） li!/lili1nnn;（3）ennaR nnnn 1lim!1li1limli1. 2证明级数 12nz在收敛圆内一致收敛。证 因收敛半径 1limli21naRn，故其收敛圆为 1z。又因 1|z，21nz，而级数12n收敛，由教科书中的定理 4.1.6，级数 12n在收敛圆 内一致收敛。3下列结论是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛；（2）每一个幂级数收敛于一个解析函数；（3）每一个在 0z连续的函数一定可以

2、在 0z的邻域内展开成 Taylor 级数。解（1）不对。如 0n在收敛圆 1内收敛，但在收敛圆周 1z上并不收敛；（2）不对。如一个幂级数的收敛半径为零,则其和函数并非解析函数;(3)不对.如 zf在全平面上连续 ,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级数。4.幂级数02nna能否在 0z收敛而在 3z发散？解 不能。因如nn0在 收敛，则由 Abel 定理其收敛半径 20R，而 213即 3z在其收敛圆 2|z内，故级数02nnza在 3收敛，矛盾。5如果 0nza的收敛半径为 R，证明级数0Rennza的收敛半径 R。证 1 对于圆 z|内的任意一点 z，由已知 0n绝对收敛

3、即0nza收敛，又因naRe，从而 nna|Re，故由正项级数的比较判别法 0en也收敛即0nz在 |内绝对收敛，于是其收敛半径 R。证 2 设级数0ennza的收敛半径为 。由于 nae0，有 naRe，即 nnalimReli，所以有 R1，即 。6我们知道，函数 21x当 x 为任何实数时，都有确定的值，但它的 Taylor 展开式： 421x却只当 1|时成立，试说明其原因。解 幂级数的收敛半径为其和函数的各奇点到其中心的最短距离，而函数 21z在1|z上有奇点 iz，故 4221zz之右边幂级数的收敛半径为 |0|iR，又因为此级数在 1处发散，故在实数范围内 4221zz只能在 1

4、,z时成立即 4221xx只当 1|x时成立。7把下列各函数展成 z 的幂级数，并指出它们的收敛半径。（1） 3z；（2） 21；（3） 2cosz；（4）shz；（5） 2sinze（6） sin解 （1）由 1|,132zzz，故 nz39633， 1|z，而收敛半径 R=1；（2）因 nzzz1132， 1|z，故 nzzz242211， 1|z，又因21z2z，642 31z， 1|z，而 R=1；（3）因 ,!64!2cos z故 !64!21cos128zz|z而其收敛半径 R；（4）因 ,|,!3,2sh2zzezz ,|,12z故 ,|,!53shzz而收敛半径 ,R（5）因

5、,|,!21642 zzez ,|,!53sin1062z故 !53.!21si 1062642 zzze ,|,3642z而收敛半径 ;R（6）因,1sinco1sin1sin1si zzzz ,|,032n故 3232!11sinzzz65， |， 432232!411cos zzz， |，故 3232 651cos1sin1si zzzz= 1|,1sincoincoi 32 z，而收敛半径 R=1。8求下列函数在指定点 0z处的 Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径（1） z， 10 （2） 21z， 0（3） 2， 0 （4） 3， i0解 （1）因 21211zzz及 1|,

6、132zzz故 112221 nnzz nz112nn21， 2|z于是收敛半径 R=2。（2）因 121241zzz及 4142zzz 4|2|,21 z313zzz=3|2|,21 z故原式22142zz 2313z=00231nnnnz01012 2nn zz0123n n， 3|z，而 3R。（3）因z12及 211zz， 1|z，故 121nzz01nn， |，而 R=1。（4）因 i3i1341ziii1i31iz 22i1i3iii z，其中1ii31z，故 nnnzzi1i31400|i|，且收敛半径 310R。9把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent 级数。（1）

7、 22z， 2|1z；（2） ， 1|0,|；（3） |2|1,|0,21zzz（4） ze， |（5） 1sin， |1|0z解 （1）因 25115)2(122 zzz故 210515)( 222 zzzz 0 00122215n nnnzz00)1(2012 25nnn zz 845 3234z 2|1z；（2）在 1|z内， 2221 nzzz n132 1zz12nn在 1|0z内， 0222 111nnzzzznn2；（3） 1|0z内， 11)( zzzz01nn1nnz在 |2|1z内 12121)( zzzznnz21210011nnz122nnz2nnz（4）在 |1z内，

8、因 322111 zzzz故 32232321 1!1!1 zzzez；4!（5）因012|,sinnzz,故 012!211sinnnzz |0,120 znnB 类1设幂级数 0nza的收敛半径 R0，和函数为 zf，证明：nrMa|，,20n。其中 |max,i20refrMR证 由 Taylor 系数公式及复积分计算公式知 20ii|1i! derfdzfnfa nrzn,故 2020 1|1|1| drMderfa ninin,rM。2求证如下不等式。（1）对任意的复数 z 有|1zzzee（2）当 1|0时，证 |47|4z证 （1）因 !32| nzez !|!|1| zzz 1

9、|2| 3nez故对任一复数 z， |1| zzze;（2）因 !321ne，故当 1|0z时，有 |!|!21nzze， 1!21nz zze3又因 !1!21n 3134 n12243故由以上三个不等式即得 zez714。3设 azf， 0，求Cndzf1，其中 C 为任一条包含原点且落在圆周：az内的简单闭曲线。解：因 azf在 内解析且 C 在 az内，故dzfCn1=!0i20!i2nfn，又因 012121nnazazzaz1 |,nna，故 ,212!01nfnn，1!0af，于是 .,i41;01 adzfnCn4试求下列函数在给定点的 Taylor 展开式。（1） dezf0

10、20z （2） 2sinz， 10（3） z1ln， ； （4） 1l，（5） l， i0 （6） ze， 0解（1）由于 znzez ,!21，故 ,!1!2422 n故 !12!5302 nzzdezf 01!n， |z；（2） 2222 sicocsi1sisin zzz 0 102 !1!1in nnn 0 1202 )!(si)!(si n nn zz!121i!211i 00 nnn0!sinz02!1sinnz， 1z；（3）因 ,4321l 15znzz ，故 1|,ln 152 zzzz n，从而 2543254321ln !1 zzzzez+ 35432! 1|.461532 zzz；（4）因 ,432lnz1|z.故 24322 ,1lnzz， 1|z，,143|z；（5）令 zfl，则 ,2!nnzfn ，故ii1,1;lnif， ,21i! nnfn因此 0!nzfzf，即 1,ilinnzz1|i|z；（6）令 zef1，显然 z=1 是 f的奇点，所以它可在 |内展为 z 的 Taylor 级数，对 z求导得 21zezfz得微分方程 02fz将上述微分方程逐次求导，得