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力学量的算符表示.doc

1、第三章 力学量的算符表示1如果算符 、 满足条件 1,求证: 22,3, 1nn证 利用条件 ,以 左乘之得2则有 )1(最后得 2。再以 左乘上式得 22)(, 即 232则有 3最后得 2应用数学归纳法可以证明 1nn:先设 21)(n 成立,以 左乘上式得 11nn则有 11)()( n最后得 1nn2证明 )()(2121nnML )(11Lmn证 应用 AB 及 BA,则 ()()( 2112121 nnnn L同理可证 121 mm则 )()()()( 21221 mnn MML 11L3若算符 e满足 !21 nL,求证: ),(!31),(!21),( aLaLaeaL其中,

2、证 方法一:把 Le直接展开,比较系数法。 !)1(!21!21 nLLaneaL 3322 )( aaaL!2而 L),(Laaa!21)(,!21!21 L)(,!3),(!32LLaa!1!123因此,把 Lea展开式的 的同次幂的系数合并之后,我们容易得到: ),(!31),(!21),( aLaLL方法二:定义算符 Ses其中 S 是辅助参数。则算符 )(对 S 的微商给出 )(,)( saLeaLdsLS,()(,2s )(,(,)(aLdsann个取 1S,得 e)将 )(展开为麦克劳林级数 2)0(!1()0dsasa按定义, (,所以我们最后得到 ),(!3),(!), aL

3、LeL4如果 GF,都是厄密算符,但 FG,向:(1) 是否厄密算符?(2) )(i是否厄密算符?解 利用厄密算符具有的性质 C及 AB)((1)令 FG则 )()( FGFG当 时, ,故 不是厄密算符。(2)因 i,故 )()()( iiFiFi 因此 G是厄密算符。例如, x和 p都是厄密算符,且 xp,所以 )(xp不是厄密算符,事实上 ix显然不可能是厄密的。但是在 zyxLL中,把它改写为xi)(,显然左方是厄密算符。5如果 GF,都是厄密算符,而算符 GiFK,求证: K。证 iiK)( 。6试证明力学量 2p所对应的算符是2i,并进一步用数学归纳法证明力学量 np所对应的算符是

4、ni。证 先证明一维情况,按定义 dptCtpxxx ),(),(2*2而 xetCEtix)(*2/1, ,dttptpix x)(2/1),)(,( , xetetxpixix x),(,2*2利用恒等式 xpixpixpi ddie 222故 xxpixpix dptedetP),(),(212* 由于: edxtxextedx pipixpi x 222 ),(),(epipii xx 2222 diexpi故 xxpix dptiet ),(),(212)(* tidtCxpix ,2* dxtpttit x),(),(),(),( 2*22xipx同理 22yiy22zipz故 i

5、对于 np,可先设11nni成立,然后写出 np的表示式,进行一次分部积分后,不难得出 nni7求: ?xyxLPyzxz并由此推出 、 y、 分别与 zyp,的对易关系。解 yzxpL, yxL, xyzpL且 0),(),(0),(),(xi0),(ypz以及 zyxp,之间均可对易。故 )()( yzxzxx pL0xzx zxyxy zzpippz i)()(2 同理 yzxziLp同理可证,对于 y,分别有 zxyxi, 0yyLp, xzyzpiLp及 zp, xzi, 0一般地,我们可以将上述各式合并写为: kijxzjiL其中 k,为循环指标,而时当 为 逆 序 循 环 时且当

6、 为 顺 序 循 环 时且当 ji,jijiijk0,1,8求 ?xxLyyzz并由此推出 yx,分别与 z,的对易关系。解 0)()( yzyz pxpLxyyzizx)()(2xyyzzxipx同理可证: ziLyxx0yyL, xiLyzzzxiz, 0一般地,可以把上面的式子合并为 kixjjji 9一维谐振子处于基态21)(xex,其中 求 ?)(2px解 2x。利用第二章第 3 题的结果,我们知道 )(是已归一化了的,故 2222*2 12 dedxx02221)(x同理, p注意到一维情况下,只须考虑 x,因此 dxeidxipxx 22* 0)(22edxepxx 222x22

7、dxeexx2232dxx22523 125)()22 xxpp最后得 4122讨论:通过上面的计算看到,在一维谐振子的特殊情况下,其结论与测不准关系 4)(22xp一致。 0的结论,可以从动量几率分布函数得出,利用第二章第 3 题的结果,处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为212),(petpC,它是 p的偶函数, 0,这从物理上看是很清楚的。这种对称性(坐标空间和动量空间)是一维谐振子的主要特征之一。 2也可以从动量空间中求平均而得到。在以 x为自变量的表示式中,一维谐振子的薛定谔方程为 0)(212 xEd,令 x,代入上式可得0)(2在以 p为自变量的表示式中,考虑到算符 pix,

8、故薛定谔方程为0)(2)(22 cpEdc同理可令 ,1,于是有 0)()22pcdpc显然 )(pc的解只须在 (x中以 代替 x即得:)(2!12HenCnn pnp2而 11故 21)(20202 2dpedpcp和上面得出的结果一致。10一维运动的粒子处在 0,0)(xAex当当, )0(求 ?2p解由第二章第 1 题知归一化系数为 2/3A238430232* dxeAdxx 542 2229)(x在上面的计算中利用了积分公式 10)(!nxnde02* )(dxexiApei(02 32221 )(!1)ixx0422iA dxedxeAdxexp )()( 020 22 320

9、)()(1)( xeAx223241)(p最后得 2223x讨论: 43)(2,满足测不佳关系。用 dpcp(*及 dpc)(2*2求得的结果也和上面的结果一致。显然,在已知 )(x的情况下,把 用算符i代替,直接用坐标几率分布函数表计算 p或 2,比先由 求动量几率分布函数 )(pc,再由 )(来 或 简单得多,由此可见,力学量用算符表示,非但有深刻的物理意义,而且也给计算带来方便。在第四章将看到,一个力学量,不管用 作自变数,还是用 x或其它量作自变数,计算出来的平均值都相同。从物理上看来,这也是明显的,因为平均值正是实验测量的值,它不应当和计算方法有关。11求粒子处在态 lmY时角动量的

10、 x分量和角动量 y分量的平均值 yxL,;并证明:2222 )()()(lLyx 解(1)先证明两个普遍的关系: 1,)()( mllmyx YlYi 可以用两种方法来证明。(a)从角动量算符 L所满足的对易关系出发:iL或 zxyxzyyxzLi由一式与二式乘 i 后相加减可得: )()()( yxzyxyxz LiiL或 i用算符 )(yxz对 lmY运算得: lmyxlmzyxl YLiYiLi )()1)( 另外,注意到 2和 z,均可对易,故有: 22)()(iiLyxyx所以 lmyxlmlm iY)()12从上面二式可见 lyxi)(既是 zL的本征函数,本征值为 1,又是 2

11、L的本征函数,本征值为 21l,亦即 lyxYi)(,具有 1,l的形式。令 1,)(mllyxCLi它的共轭复式是*ll二式相乘,对 ,积分,再注意到 ,的正交性,得:dYiiClmyxlmyx *2 )()( LLYll*)()( yxyxyx iii dlmlm)(*2Yilxyxyxl )(2LYlzl )(*22)1)()1l1,)()( mllmyx YlYLi (b)用直接求微分的方法证明 cossintgxincotiLy ictgeiiyxitLiiyx而 imllmePlY)(cos)!(412;其中 )(sincolml pdp故 )(cos)(scoi)(1 lmlyx dLi )(cos)(ini)()(cossin1 impdtgpd lmlmm !42)1(lei )!1(42)1)( llYLilmyx 1,)11 )(cos)(cssin mlmilm Ylepd 同样,对 yx也有 111 )(cossin)(c)(osi)( mmlmlm ddYLi !42csincos )1(leiptgp ilml )(cos)(cssini)!(42)1)( 121 lmmpdll)1(cossco2ilmepd)1)(sin)!(42)1)( 1 lll m

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