参数方程完全解析(非原创).doc

1、1参数方程目标认知学习目标：1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。重点、难点：理解参数方程的概念及转化方法，重点掌握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；以及利用参数建立点的轨迹方程。知识要点梳理:知识点一：参数方程1. 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数：，并且对于 的每一个允许值，方程所确定的点 都在这条曲线上，那么方程就叫

2、做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数 叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 ，叫做曲线的普通方程。2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等.把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。互化时，必须使坐标 x, y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。知识点二：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方

3、程为：（ 为参数） ；其中参数 的几何意义： ，有 ，即 表示直线上任一点 M 到定点 的距离。 （当 在 上方时， 在 下方时， )。（2）过定点 ，且其斜率为 的直线 的参数方程为：（ 为参数， 为为常数， ） ；其中 的几何意义为：若 是直线上一点，则 。（3）若直线 l 的倾角 a=0 时，直线 l 的参数方程为 .2圆的参数方程（1）已知圆心为 ，半径为 的圆 的参数方程为：（ 是参数， ） ；2特别地当圆心在原点时，其参数方程为 （ 是参数） 。（2）参数 的几何意义为：由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方

4、程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆 （ ）的参数方程 （ 为参数） 。（2）参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点 对应的角为 （过 作 轴，交大圆即以 为直径的圆于 ） ，切不可认为是 。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆 上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双曲线 （ , ）的参数方程为 （ 为参数） 。5. 抛物线的参数方程抛物线 ( )的参数方程为 （ 是参数） 。参数 的几何意义为：抛物线上一点与其顶点 连线的斜率的倒数，即 。6.

5、圆的渐开线与摆线的参数方程：（1）圆的渐开线的参数方程 （ 是参数） ；（2）摆线的参数方程 （ 是参数） 。规律方法指导1.参数方程作为选考内容，试题内容涉及参数方程与普通方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及在解题中的应用中。由于该内容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式出现一般为容易题或中等题。以考察基础知识，基本运算为主。2. 加强消参的技巧性学习，注意等价性，消参常用的方法有代入法、三角法、加减法等。3.从数的角度理解，圆与椭圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆、椭圆问题提供了一条新的途径.3经典例题精析类型一：参数方程与普通方程互化1.已知圆的方程是 ，将它表示为

6、圆的参数方程形式。思路点拨: 将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式 进行三角代换转化为参数方程。解析：配方得圆的标准方程令 ， 得圆的参数方程为 （q 为参数）.总结升华：圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用 进行三角代换。举一反三：【变式】化普通方程为参数方程。（1） （2）【答案】：（1）配方得圆的标准方程 ，令 ， 得圆的参数方程为 （q 为参数）.（2）变形得 ，令 ，得椭圆的参数方程为 （q 为参数）.2把参数方程化为普通方程(1) ( ， 为参数) ； (2) ( ， 为参数） ；(3) ( , 为参数) ； (4) ( 为参数).思路点拨:（1）将第

7、二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把 用 表示，反解出 后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把 换成 而已，因而消参方法依旧，但需要注意 、 的范围。解析：（1） ，把 代入得 ；又 , , , , 所求方程为： ( , )（2） ,把 代入得 .又 ， , . 所求方程为 ( , ).4（3） （法一）： ,又 ， , 所求方程为 ( , ).（法二）：由 得 ,代入 , （余略）.（4） 由 得 , ,由 得 ,当 时， ；当 时， ，从而 .法一

8、: ，即 （ ） ，故所求方程为 （ ）法二: 由 得 ，代入 得 ，即再将 代入 得 ，化简得 .总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出 、 的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式 1】化参数方程为普通方程。（1） (t 为参数) ； （2） （t 为参数）.【答案】：（1）由 得 ，代入 化简得 . , , .故所求方程为 （ ， ）（2）两个式子相除得 ，代入 得 ，即 . ，故所求方程为 ( ).5【变式 2】

9、 （1）圆 的半径为_ ；（2）参数方程 ( 表示的曲线为（ ） 。A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中 ， ， 半径为 5。（2） ，且 ，因而选 B。【变式 3】 （1）直线 : (t 为参数)的倾斜角为（ ） 。A、 B、 C 、 D、（2） 为锐角，直线 的倾斜角（ ） 。A、 B、 C 、 D、【答案】：（1） ，相除得 ，倾斜角为 ，选 C。（2） ，相除得 ， ， 倾角为 ，选 C。3已知曲线的参数方程 （ 、 为常数） 。（1）当 为常数( )， 为参数( )时，说明曲线的类型；（2）当 为常数

10、且 ， 为参数时，说明曲线的类型。6思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。解析：（1）方程可变形为 （ 为参数， 为常数）取两式的平方和，得曲线是以 为圆心， 为半径的圆。（2）方程变形为 （ 为参数， 为常数）,两式相除，可得 ，即 ,曲线是过点 且斜率 的直线。总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：【变式 1】已知椭圆的参数方程为 （ 为参数） ，求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率和准线方程.【答案】：由题意得: , , 得 . ,

11、.即:椭圆的长轴长为 26，短轴长为 10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为 ，准线方程为： 和 .【变式 2】已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）（1）判断点 P1（1，2） ，P 2（ 0，1）与曲线 C 的位置关系（2）点 Q(2,a)在曲线 l 上，求 a 的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若 t0， 化为普通方程，并作图.【答案】：（1）若点 P 在曲线上，则可以用参数 t 表示出 x, y，即可以求出相应 t 值.所以，令 ， t 无解， 点 P1不在曲线 C 上.同理，令 ， 点 P2在曲线 C 上.（2）Q 在曲线 C 上， .（3）将 代入 y=3t

12、2+1 ,如图 .7（4）t0, x=2t0, y=3t2+11, 消去 t， ， t0 时，曲线 C 的普通方程为 (x0, y1).点评:在（4）中，曲线 C 的普通方程的范围也可以只写出 x0, 但不能写成 y1，这是因为 是关于 x 的自变量，y 为因变量的函数，由 x 的范围可以确定 y 的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为 y=f(x)或 x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即 F(x,y)=0，一般来说，x,y 的范围都应标注出来.【变式 3】已知圆锥曲线方程为 。（1）若 为参数， 为常数，求此曲线的焦点到准线距离。（2）若 为参数， 为

13、常数，求此曲线的离心率。【答案】：（1）方程可化为消去 ,得：曲线是抛物线，焦点到准线距离即为 。（2）方程化为 ，消去 ，得 ，曲线为椭圆，其中 ， ， ，从而 。类型二：圆渐开线以及摆线4.已知圆渐开线的参数方程是 ，则基圆面积是_。解析： ， 面积为 16举一反三：【变式 1】半径为 10 的基圆的渐开线方程是_;【答案】： （ 为参数）变式 2摆线的参数方程为 ，则一个拱的宽度是_，高度是_。【答案】：半径 ，一个拱宽度为一个圆的周长为 16 ，高度为直径 16类型三：求最值85.P 是椭圆 上的点，求 P 到直线 的距离的最大值与最小值，并求出达到最值时 P 点的坐标.思路点拨: 利

14、用参数方程求最值。解析：点 P 是椭圆 上的点， 可设 ，q?0，2p.P 到 l 的距离 .当 时，即 时， ，此时 P 点坐标为 .当 即 时， ，此时 P 点坐标为 .总结升华：利用参数方程求最值是很常见的一种方法，利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。举一反三：【变式 1】求椭圆 上的点到直线 : 的最小距离及相应的点 的坐标。【答案】：设 到 的距离为 ，则（当且仅当 即 时取等号） 。点 到直线 的最小距离为 ，此时点 ，即 。【变式 2】圆 上到直线 的距离为 的点共有_个.【答案】：已知圆方程为 ，设其参数方程为 （ ）则圆上的点 到直线 的距离为，即 ， 或又 ， ，从而满足要求的点一共有三个.【变式 3】椭圆 内接矩形面积的最大值为_.9【答案】： 设椭圆上第一象限的点 ，则当且仅当 时，取最大值，此时点 .【变式 4】已知实数 x, y 满足 ,求:（1）x 2+y2的最大值 （2） x+y 的最小值.【答案】：原方程配方得 ，表示以 为圆心，2 为半径的圆.用参数方程表示为: （q 为参数，0q2p）.（1）当 ，即 时，(x 2+y2)max=16.（2）当 ， 即 时， .选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按 ctrl 点击打开)