人教版高一数学必修一至必修四公式.doc

1、人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）1初高中衔接：和平方： 和、差平方： )(2baba 22)(baba立方和、立方差： 和、差立方：223 2233)( ab;ccc)(22 cc)(22;abbab2 abab2韦达定理：设 acxcxx 21210的 两 根 ， 那 么为和必修一：23412nxABAn（ ） 元 素 与 集 合 的 关 系 ： 属 于 （ ） 和 不 属 于 （ ）（ ） 集 合 中 元 素 的 特 性 ： 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性集 合 与 元 素 （ ） 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 ： 有 限

2、集 、 无 限 集 、 空 集（ ） 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 、 描 述 法 （ 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ） 、 图 示 法 、 区 间 法子 集 ： 若 ， 则 ， 即 是 的 子 集 。、 若 集 合 中 有 个 元 素 ， 则 集 合 的 子 集 有 个 ，注关 系集 合 集 合 与 集 合 0(-1)23,.4/ nCCxBABA真 子 集 有 个 。、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 ， 即 、 对 于 集 合 如 果 ， 且 那 么、 空 集 是 任 何 集 合 的 （ 真 ） 子 集 。真 子 集 ： 若 且 （

3、 即 至 少 存 在 但 ） ， 则 是 的 真 子 集 。集 合 相 等 ： 且 定 义 ： 且交 集 性 质 ： ， ， ，运 算 ,()()-()/ ()()UUUAABCardardCBxC ，定 义 ： 或并 集 性 质 ： ， ， ， ， ， 定 义 ： 且补 集 性 质 ： ， ， ， ， AB恒成立问题： 0)0(ax;0)0(ax 22 且 上 成 立 的 条 件 为在且 上 恒 成 立 的 条 件在 aRacbRacb指数函数：；0n aanann ，为 偶 数 时 ：； 当为 奇 数 时 ：当 mnna1)10*mNn， 且、，（ )()()(0( QrbbQsrQsra

4、 rrrsrsrsr ；，；、，；、，对勾函数单调区间公式：对勾函数基本形式： ，在 上xpy),0,人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）2)0(,(),p，（），单 调 递 减 ：单 调 递 增 ：对数函数:, , , , 1loga1loglabala )10(log aNa 且、,)0(l bba 、且、 dccdbaabbaab loglll (a、M、N0,且 a1) NNMaaalogllog)( 1ln),0(lnexe, (换底公式)bmnaall )1,0( Rn且，、 ,(logl cacbabca 、且、函数图像（必须熟）表 1 指数函数 0,1xya对数数函数 lo

5、g0,1ayxa定义域 R ,值域 ,yyR图象过定点 (0,1) 过定点 (1,0)减函数 增函数 减函数 增函数(,0)(,)1xy时 ，时 ， (,)(0,1)xy时 ，时 ， (,)(,)0xy时 ，时 ， (,)(,0)1xy时 ，时 ，性质 abababab人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）3表 2 幂函数 ()yxRpq00111q为 奇 数为 奇 数奇函数pq为 奇 数为 偶 数pq为 偶 数为 奇 数偶函数第一象限性质 减函数 增函数 过定点 01（ ， ）判断奇偶函数：若 则为偶函数，若 则为奇函数（奇函数 ）)()xff)()(xff0)(f判断单调函数： 在定义域

6、内设 ,化简 ,若 则认为该函数在 1 2121x)(2121 xf即其定义域内单调递减，若 则认为该函数在其定义域内单调递增。 若在定义域内)(0)(fffxf 即 2设 ，化简 ,若 则认为该函数在其定义域内单调递增，若21x)(21f )()(2121 xfx即则认为该函数在其定义域内单调递减。 （具体情况具体定）)(0)( xfff 即函数的周期：若 ，则 T 为函数周期。)(Tx必修二：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直

7、线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。tank斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 时， ； 当 时， ； 当 时， 不存在。9,0k18,90k90过两点的直线的斜率公式： )(212xxy注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；21x人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）4(2)k 与 P1、 P2 的顺序无关；(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且过点)(11xky1,y

8、x注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 bbky两点式： （ ）直线两点 ，1122212,x1,x2,y截矩式： xab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。l(0)ay(0)blxy,ab一般式： （A，B 不全为 0）CyA注意： 各式的适用范围 特殊的方程如： 1 2平行于 x 轴的直线： （ b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： （a 为常数

9、） ； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系： （C 为常数）00yx0,B 00yBxA（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系： ，直线过定点 ；00xk0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线系方程为:11CyBxAl :22CAl（ 为参数） ，其中直线 不在直线系中。2211 CyBxAl（6）两直线平行与垂直当 ， 时，:bkl:bkl；212121,/1221l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交0:11CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标即方程组 的

10、一组解。1方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合21/l 1l2（8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),xy， （ ）则 212|()ABx（9）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,P0:1CByAxl 20BACyxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 1设直线 则两点间的距离为 2 ;,2211 yxlCByAxl 都 相 等 ）、(21二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为 r；22rbyaxba,人教版高

11、中数学必修一至必修四公式（必会）5（2）一般方程 02FEyDxy当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为042FED2,EDFEDr4212当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。 042F（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到 l 的距离为 ，则有0:CByAx

12、l 22:rbyaxbaC, 2BACbad； ；相 离与rd相 切与lrd相 交与ld（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，:l 22:令其中的判别式为 ，则有 ； ；相 离与相 切与0相 交与l0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中 表示切点坐标，r0ryx0,yx表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆 ，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)22ryx 20ryx圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r

13、2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 ，211:rbaC222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 时两圆外离，此时有公切线四条；rRd当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 时，两圆内含； 当 时，为同心圆。r0d5、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长

14、，h 为高， 为斜高，l 为母线）hchS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21cS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(12正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr圆 柱 表 r圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 2Shr圆 柱 13VSh锥 hV231圆 锥1()3台 ()()r圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球 34R球 面 24R（5）关于平面的公理：公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理

15、3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 3 的作用：人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）6它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 aa，b

16、 b，则把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，90 ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点 O 是任取的，而和点 O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）平面与

17、平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 1（线面平行面面平行） ，如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 2（线线平行面面平行） ，垂直于同一条直线的两个平面平行， 3两个平面平行的性质定理如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平行） 1如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行） 2（9）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理

18、：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（10）空间两点距离坐标公式： 212121)()()(zyxd必修三：秦九韶算法： 122111 . axxaaxannnn 回归直线方程： 必修四：正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合, 角的始

19、边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角x 人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）7第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角的集合为36,kk4、关于扇形的计算公式： RlRSRl 21222；l弧长 圆心角（弧度制 R扇形半径 S面积弧度制与角度制的换算公式： ， ，2360181057.3（x 为该点到 y 轴的距离，y 为该点到 x 轴的距离 ）)(t

20、an;cos;sinyrxry 2yxr象限 一 二 三 四 06 4 3 2 3 4 65 3 2sin + + - - sin0 21 1 2 1 0 -1 0cos + - - + cos1 3 0 - - 3-1 0 1tan + - + - tan0 31 - 3 -1- 30 0 222222 cos1tan1tsicos1sincostancsitaosin1cosin ；诱导公式：( )Zk isi()in()i()i()i(i ）； cos)n2cos2coscoscos)2cos( ；k人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）8 tan)ta(n)ta(n)tan()2ta

21、n( ；k函数形式 周期 对称中心 对称轴方程 函数形式 周期 对称中心 对称轴方程)sin(xAy2使）， 0(kx)求出的 x 即为对称中心的横坐标使2k=)(求2k出的 x 即为对称轴的横坐标)cos(xAy2）， 02(k使 )x求出的 x 即为对称中心的横坐标使kx=)(求出的x 即为对称轴的横坐标函数形式 单调递增区间 单调递减区间 奇偶性xysin)(22Zkk，)(232Zkk， 奇co， ，偶xytan)(2Zkk，无单调递减区间 奇（注：以上两个表格中的 k 皆属于 Z）和差公式： tan1t)tan(sicosin)si(nsicos)cos( ；（辅助角公式）)4tan

22、(t1 )cosi(coi 222 bbaba 万能公式：（不考，也不常用，作为了解） )sin(cossin2ta1tn2ta1cos2tan1si 22 a；半角倍角公式：倍角： )si)(cosi(csicostantcsisi 222 ；人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）922222 )cos(incosincossini1sin1coss ；s121i1c1 2 ；半角： cosisinco2tancos2os2sin ；22 )(sii1i1co1 ；积化和差公式：（高一不要求掌握） )in()i(sinco)sin()si(2csin ； cos21o1o ca；和差化积公

23、式：（高一不要求掌握）(三角函数线配图)insin2cssin2isn ； 2s2coioco ；三角函数线： ， ，sistaA三角函数图像（需记牢）inyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当 may2时， kmin1y当 时， xk；当may2时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性 在 2,2k在 上是2,kk增函数；在 2在 ,2kTMAOPxy函 数性质人教版高中数学必修一至必修四公式（必会）10上是增函数；在k32,2上是减函数k上是减函数k上是增函数k对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中

24、心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴向量：加法运算： 懂 ）（ 在 平 行 四 边 形 中 可 看（ 在 三 角 形 中 可 看 懂 ； ACDBACB三角形不等式： abab交换律： ；结合律： ； cabc0aa坐标运算：设 ， ，则1,xy2,xy12,xy向量减法运算： 在 三 角 形 中 可 看 懂 ）(BCA坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,bxy12,abxy设 、 两点的坐标分别为 ， ，则1212A向量数乘运算： ；a当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 00a0a运算律： ； ； aba坐标运算：设 ，则 ,axy,xy分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的12121,xy2,12坐标是 121,xy平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时， ；当 与 反向时，ababab； 或 ab2