圆的面积奥数.doc

1、 圆 的 面 积圆 是 一 种 平 面 图 形 ， 再 日 常 生 活 中 到 处 可 见 如 圆 桌 ， 圆 盘 ， 车 辆 的 轱 辘 ，以 及 游 戏 用 的 棋 子 ， 飞 盘 ， 呼 啦 圈 等 ， 由 于 圆 有 着 本 身 独 特 的 性 质 ， 在 某 些地 方 是 其 它 形 状 所 不 能 代 替 的 ， 车 轱 辘 就 是 一 个 很 好 的 例 子 这 一 讲 我 们 着重 研 究 圆 以 及 和 圆 有 关 的 组 合 图 形 的 求 面 积 方 法 圆 的 面 积 计 算 公 式 ， 扇 形面 积 计 算 公 式 ， 同 学 们 在 课 本 上 已 经 都 有 初

2、步 的 理 解 和 掌 握 ， 我 们 主 要 讨 论组 合 图 形 的 面 积 的 计 算 方 法 与 技 巧 请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是 90 度，八分之一圆对应的圆心角是 45 度经典题再现如下图所示，O 是圆心，圆的周长等于 75.36 分米，点 A、B、C 都在圆周上，OABC 是梯形，梯形的面积是 98.28 平方分米AB = 20.76 分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（ 取 3.14）解：由圆的周长可求圆的半径：75.36 = 2 3.14 r，r = 12即 OC = 12由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高98.28 = (12 + 20.7

3、6) 高 2，高 = 6阴影的面积 = 12 6 2 = 12 3 = 36（平方分米） 典型例题【例 1】 长方形长 6 分米，宽 4 分米，分别以长、宽为半径画弧，如图那么阴影部分的面积是多少平方分米？ 解： = 16.82（平方厘米）2263.143.14答：影阴部分的面积是 16.82 平方厘米【例 2】 如图，半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米，圆 S2 的面积是 19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 解：因为 s1 的面积为 14.13 平方厘米，所以半径的平方为14.13 2 3.14 = 9，故半径为 3 厘米，直径为 6 厘米又因为 s2 的面积为

4、 19.625 平方厘米，所以 S2 的半径的平方为19.625 3.14 = 6.25（平方厘米） ，所以它的半径为 2.5 厘米，直径为 5 厘米，所以阴影部分面积为（6 5） 5 = 5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 5 平方厘米【例 3】 如图， A 与 B 是两个圆（只有 ）的圆心，那么，两个阴影部14分的面积相差多少平方厘米? 解：观察上图可以发现大 圆的面积减去长方形的面积（包括小阴影和14大空白两部分）再减去小 圆的面积就是两个影阴部分的面积差即= 1.42（平方厘米）22113.43.4答：两个阴影部分的面积相差 1.42 平方厘米【例 4】 如图，圆的直径 AB 是 4

5、cm， ABCD 的面积是 7cm2，ABC等于 30，求阴影部分面积解：这个题许多同学将 ABC 看成是圆心角为 30的扇形这是错误的，因为 AB 是直径， BC 不是， AB，BC 不一样长，所以，ABC 不是扇形如下图，找到圆心 O，连 CO，AOC 才是扇形先要求这个扇形的圆 心角 ， 就 可 以 求 出 它 的 面 积 然 后 再 求 三 角 形 COB 的 面 积 ， 用 ABCD的面积减去，就是阴影面积阴 影 面 积 等 于 平 行 四 边 形 面 积 减 去 扇 形 AOC 的 面 积 ， 再 减 去 BOC的面积扇形的圆心角 = 180（180 30 2）= 60扇形的面积

6、=2 2 3.14 60 360 = 2.09（平方厘米） BOC 的面积 = 7 2 2 = 1.75（平方厘米） 阴影部分的面积 = 7 2.09 1.75 = 3.16答：阴影部分的面积是 3.16 平方厘米【例 5】 下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解：两个空白部分拼起来正好是一个 44 的正方形所以阴影部分面积等于 24 的长方形面积2 4 = 8（平方厘米）答：影阴部分的面积是 8 平方厘米【例 6】 如图所示，这是一个正六边形，它的面积为 1040 平方厘米空白部分是半径为 10cm 的 6 个小扇形求阴影部分的面积 解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形

7、的面积正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积我们观察每 3 个小扇形可以拼成一个半径为 10 厘米的圆，6 个小扇形可以拼成 2 个小圆形阴影部分的面积就是正六边形的面积减去 2 个半径为 10厘米的小圆的面积6 个扇形的面积为 3.14 102 2 = 628（平方厘米） ，阴影部分的面积：1040 628 = 412（平方厘米） 答：阴影部分的面积为 412 平方厘米难题详解如下图所示，在 4 7 的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积的几分之几?解：矩形纸板共 28 个小正方形其中弧线是 圆周非阴影部分 共 614个， 也共 6 个可拼成

8、6 个小正方格因此阴影部分共 28 6 3=19 个小方格所以，阴影面积占纸板面积的 1928答：阴影面积占纸板面积的 同步练习1如下图，ABCD 为正方形，且 FA = AD = DE = 2 厘米，求阴影部分的面积？ 2有三个形状相同的圆形纸片，面积都是 90 平方厘米，重叠在一起（如图） ，盖住桌面的总面积是 150 平方厘米，三张纸片重叠的面积是 28 平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？3已知图中各圆相切，小圆半径为 1，求阴影部分面积4已知每个圆的直径为 6 厘米，求阴影部分的面积5图中正方形 ABCD 的边长是 20 厘米，求阴影部分面积6如图，已知每个小正方形的

9、面积为 1 平方厘米，求阴影部分面积 （注：所用分点均理解为所在边中点） 7如图，大圆直径上的黑点是五等分点，求 A，B，C 三部分面积之比8如图，O 为圆心，C 为扇形 ACB 的圆心，CO 垂直于 AB，三角形ABC 的面积为 45 平方厘米，求阴影部分面积同步练习解答1图形 为图形 面积的一半，于是，阴影部分的面积为ADGCAB= 2.43（平方厘米）2 21133.42.42解：90 3 150 28 2 = 64（平方厘米）3如图 I，II， III 部分面积是相等的，剩余 3 块小阴影面积也相等那么所求阴影部分面积是一个小半圆面积加上大半圆减去 2 个小圆和 3 个小半圆剩余部分的

10、 1阴影面积为：23522364如图，长方形外的阴影部分一共 个圆，移至长方形内正好3142填满长方形，阴影部分的面积就是长方形面积阴影部分面积 = 6 2 6 = 72（平方厘米） 5充分利用圆的对称性，如图，大扇形 ABC 的半径是 20，它的面积减去三角形 ABC 的面积就是 I 的面积正方形 ABCD 减去圆 O 的面积就是 4个 II 的面积阴影部分就是 ABCD 面积减去 2 个 I，4 个 II 的面积20 2 2120004(201)4= 129（平方厘米）6阴影分成两部分，一部分是字母“A ”，一部分是字母“r ”字母“A”的面积，我们只需算一半，再 2 倍就可以了平行四边形

11、 ABCD 面积= 132梯形 EFHG 面积= 546字母“A”的面积 3913.2218字母“r”的面积236.6最后，阴影面积为 3.625 + 12.26 = 15.885（平方厘米） 7显然，A 与 C 面积相等， B 与 C 面积比为（1.5 2 12）：（2.5 2 1.52 + 12） 2 = 12所以，A，B，C 面积比为： 2128设 CA = CB = a，OC = OB = OA = r则由三角形 ABC 面积为 45 知， ，a 2 = 9045a再以 AB 为底计算三角形 ABC 面积：AB OC =2 OA OC =b2 知，11b2 = 45阴影部分面积 = 半圆面积 + 三角形 ABC 面积 扇形 ACB 面积即45 + b2 3.14 a2 3.14 = 45 + 45 3.14 90 3.14 = 451141214