1、大学生数学竞赛 (高等数学)1全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（20092013）大学生数学竞赛 (高等数学)2第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限 .2lim1sin4nn解 因为 （2 分） ；22i1sin14n原式 2 2li1sinexplimsi4nn n (2 分)；(2 分)142 2explimsexpli1414n n enn 2.证明广义积分 不是绝对收敛的0ixd解 记 ，只要证明 发散即可。（21sina0na分）因为 。（2 分）101sinsi1nxdxd而 发散，故由比
2、较判别法 发散。021n0na（2 分）3.设函数 由 确定，求 的极值。yx33yyx解 方程两边对 求导，得 （1 分）22660x故 ，令 ，得 或 （22yx0yyxy分）将 代入所给方程得 ，,1x大学生数学竞赛 (高等数学)3将 代入所给方程得 ， （2 分）0x0,1xy又 22242yxyxyy ，0,1 2,102001,xy xy 故 为极大值， 为极小值。（3 分）y4.过曲线 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 轴所围成的平30yx x面图形的面积为 ，求点 A 的坐标。4解 设切点 A 的坐标为 ，曲线过 A 点的切线方程为3,t321ytxt（2 分） ；令 ，由
3、切线方程得切线与 轴交点的横坐标为 。0yx0xt从而作图可知，所求平面图形的面积，33301214tStdtt故 A 点的坐标为 。（4 分）1,二、 （满分 12）计算定积分 2sinarct1oxxeId解 020sinarctit1osx xxeId （4 分）220 0itsinarcts1ox xed （2 分）2 20 0insinarctrta1os 1coxxx xe （4 分）20icsdx大学生数学竞赛 (高等数学)4 （2 分）230arctnos8x三、 （满分 12 分）设 在 处存在二阶导数 ，且 。证f00f0limxf明 ：级数 收敛。1nf解 由于 在 处可
4、导必连续，由 得fx00limxf（2 分）00limlixxff （2 分）00lilixxffff 由洛必塔法则及定义 （3 分）200011limlilim022xxxfffff所以 （2 分）21linff由于级数 收敛，从而由比较判别法的极限形式 收敛。（321n1nf分）四、 （满分 12 分）设 ，证明,0fxfaxb2sibafxdm解 因为 ，所以 在 上严格单调增，从而有反0fabf,函数（2分） 。设 是 的反函数，则 （3 分）,AfaBfbf 10yfx又 ，则 ，所以 （3 分）fxAsinsinbByaAfdyd大学生数学竞赛 (高等数学)5 （2000112si
5、nsincosydydymm分）五、 （满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确定曲面 ，使积分 I3332Ixyzyzxzdxy 的值最小，并求该最小值。解 记 围成的立体为 V，由高斯公式（3 分）2222369331V VIxyzdvxyzxyz为了使得 I 的值最小，就要求 V 是使得的最大空间区域 ，即2210取 ，曲面 （3 分）22,31xyzz2:3xyz为求最小值，作变换 ，则 ，23xuvywz10, 1263xyzuvw从而 （4 分）22316VIuvd使用球坐标计算，得 212003sin6Irdr （4 分）31462cos55
6、6 六、 （满分 14 分）设 ，其中 为常数，曲线 C 为椭圆2aaCydxIr:，取正向。求极限22xyrlimrI解 作变换 （观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法）2xuvy，曲线 C 变为 平面上的椭圆 （实现了简化积分曲线） ，也uov2231:uvr是取正向 （2 分）而且 （被积表达式没变，同样简单！） ，2,xyydxd大学生数学竞赛 (高等数学)6 2aavduIr:（2 分）曲线参数化 ，则有 ，cos,2sin,:023urvr23vdurd （3 分） 22 210 0223cosincosin3aa a adIr rr 令 ，则由于 ，从而2022cosin
7、3a adJ 22si3。因此当 时 或 时 （2 分）a1lim0arI1limarI而 2 /212 20 0, 4cosincosin33ddJ（3 分）/222 000tan1art30/dt 。故所求极限为 13Ir ,12,aIra （2 分）七（满分 14 分）判断级数 的敛散性，若收敛，求其和。12nn解 （1）记 ,12,32n aau 因为 充分大时 （3 分）lim0,n10lnndx所以 ，而 收敛，故 收敛（2 分）321nun312n1nn（2）记 ，则1,2kak 大学生数学竞赛 (高等数学)7111222nnnkkkkkaaS= （2 分）234nnaa= （2 分）1213212nna= （2 分）134nna因为 ，所以 ，从而 ，10lnadx 1l02n1lnim0故 。lim2n因此 。 （也可由此用定义推知级数的收敛性）0nS（3 分）大学生数学竞赛 (高等数学)8大学生数学竞赛 (高等数学)9大学生数学竞赛 (高等数学)10
