1、小议发散思维在数学教学中的应用龙庆华思维是人类特有的一种脑力活动，孔子说“学而不思则罔” 。 “罔”即迷惑而无所得。意思是说，只读书而不思考，就等于没有读书。哲学家哥德也曾风趣地说：“经验丰富的人读书用两只眼睛。一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸背面的话。 ”“纸背面的话”就是指思维，指要思要想，要多思多想。这些至理名言深刻地提示了思维与学习的辩证关系。发散思维，即求异思维。它是对已知信息进行多方向，多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息，它具有多向
2、性，变通性，逆向性、开放性、独特性等，即思考问题时注重多思路、多方案，解决问题时，注重多途经，它对同一个问题，从不同的方向，不同的侧面，不同的层次，横向拓展，逆向深入，采用探索、转化、变换、迁移、构造、变形、组合、分解等手法，开启学生心扉，激发学生潜能，提高学生素质，这对造就创造性人才至关重要。发散思维包含横向思维、逆向思维及多向思维。一、横向思维它是从知识之间的横向相似出发，即从数学的不同分支：代数、几何、三角或分析等角度去考察对象，从有关规律出发去模拟，仿造或分析问题的思维方式。它利用相似性，把不同知识与方法交叉起来，从横向的联系中得到暗示或启发，从而具有发现知识或方法的开放性，以及解决问
3、题的灵活性。例 1 正数 a、b、c、x、y、z 满足 a+x=b+y=c+z=k求证：ay+bz+cx90，或AOB90则DOC=AOB90BOC=AODOA2+OB2，DC 2OD2+OC2AB2+DC2OA2+OB2+OC2+OD2且 BC2BC2+AD2与题设矛盾。(2)若AOB90，与(1)类似地可推得AB2+DC2BC2+AD2仍与题设矛盾(1)，(2)，可以说明原来假定 AC 和 BD 不垂直是错误的。因此，AC 和 BD 是互相垂直的。此例中，直接证明结果有困难，这时可从结论的反面着手思考问题。这个反面比结论本身更具体、更简单，或者说更容易用明确的形式加以表达，那么结论的反面显
4、然是进行推导的更好的出发点。一般如要证某结果“不存在” 、“至少存在几种”或“唯一存在” ，而从条件出发又不易推出什么有关联的结论时，考虑用反证解决还是相宜的。三、多向思维多向思维是发散思维的典型形式，是从尽可能多的方面来考察同一问题，使思维不局限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答或多种结果的思维方式。多向思维在解决问题时有三种基本形式，即“一题多解” ， “一法多用” ，以及“一题多变” ，它们在教学过程中都要用“一题多问”或“一题多思”作为启发诱导以生成解法和命题，在数学教学中恰当地适时地加以运用，更容易诱发和培养学生的创造性思维。例 6：如果一元二次方程：ax 2+bx+c=0 的二
5、根之比为23求证：6b 2=25ac分析：若想利用求根公式得出二根，列式 acb24？时，难以确定“？”是 23 呢还是 32，acb24思路不畅。回过头再研究题目的条件和结论，由已知二根的比而设二根分别为 2m 和 3m(m 0).法一：从根的定义可得 a(2m)2+6(2m)+c=0 a(3m)2+b(3m)+c=0 - 两方程先消去 c 可得 ,再代入即可获证。abm5法二：从二根的关系，可得2m+3m= ,abacm32消去 m 即可得证。法三：由方程二根去复原方程，可得a(x-2m)(x-3m)=0展开后已知方程比较系数，可得 b=-5ma ,c=6am2，消去 m 即可得证。上面的
6、解法紧扣教材中一元二次方程根的定义，根与系数的关系，已知二根求作方程等基础，联系到比的性质运算技能，渗透了参数思想，训练了学生思维的灵活性。例 7：已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 K 值。教科书上的解法是先由根与系数的关系求出另一个根为 ，再由 求出 k=-7.这时可考虑施行如下的变535)3(2k化：（1）已知方程 5x2+kx-6=0 的一个根是 2，求 k 值。（解时不必用根与系数的关系，也不必先求出另一个根，直接用方程根的定义即可求 K 值） 。（2）已知方程 kx2-7x-6=0 的一根是 2，求另一个根。（解时要先求出题中并没有要求求出的 K 值，再求另一个根）（3）已知方程 5x2+kx-6=0 的一根比另一根大 ，求 K513值及方程的二根。 （解时要利用（x 1-x2） 2=(x1+x2)2-4x1x2求出 K 值，然后求根）上面的例子采取了小的变化方法，有利于激活学生的思维，增加其应变能力。将“发散思维”引入中学课堂，运用发散思维“进行思维”与灵魂的对话。不仅开阔了视野，而且取得了举一反三、触类旁通的效果，深深体味到了“纸上得来终觉浅，心中悟出方知深”的真谛。教学中适时应用，能激发学生积极思维培养学生数学思维的灵活性，培养学生创造意识，积累创造性活动的方法和经验。
