1、1基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若 ，则 Rba, ab22（2）若 ，则 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 ，则*,Rbaab23、基本不等式的两个重要变形（1）若 ，则*,（2）若 ，则*,Rba2ba总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”ba4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）0x12x1x（2）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）（3）若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）ababba（4）若 ，则R, 2)（
2、5）若 ，则*12ba特别说明：以上不等式中，当且仅当 时取“=”ba6、柯西不等式 （1）若 ，则,abcdR222()()abcdacb2（2）若 ，则有：123123,abR22123()()()ab（3）设 是两组实数，则有1212,nn与2(a)b( 212()nab【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目 1、设 均为正数，证明不等式: ba, ab12题目 2、已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cabcba22题目 3、已知 ，求证：1abc2213abc题目 4、已知 ，且 ，求证：,abcR1abcabca8)1()(题目 5、已知 ，且 ，求证：,abcR1
3、abc18abc3题目 6、 （新课 标卷数学（理）设 ,abc均为正数,且 1abc,证明:() 13abc; ()221.题型二：利用不等式求函数值域题目 1、求下列函数的值域（1） （2）23xy)4(xy（3） （4）)0(1xy )0(1xy题型三：利用不等式求最值 （一） （凑项） 1、已知 ，求函数 的最小值；2x42xy变式 1：已知 ，求函数 的最小值；2x42xy4变式 2：已知 ，求函数 的最大值；x42xy变式 3：已知 ，求函数 的最大值；2x42xy练习：1、已知 ，求函数 的最小值；54x1425yx题目 2、已知 ，求函数 的最大值；54x1425yx题型四：利
4、用不等式求最值 （二） （凑系数）题目 1、当 时，求 的最大值；(82)yx变式 1：当 时，求 的最大值；4(82)yx5变式 2：设 ，求函数 的最大值。230x)23(4xy题目 2、若 ，求 的最大值；02xyx()63变式：若 ，求 的最大值；40x)28(xy题目 3、求函数 的最大值；)251(52xxy变式：求函数 的最大值；)413(14xxy题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目 1、已知 ，求 的最小值；12,0batab16变式 1：已知 ，求 的最小值；2,0batab1变式 2：已知 ，求 的最小值；28,01xyxy变式 3：已知 ，且 ，求 的最小值。0,yx
5、19xyxy变式 4：已知 ，且 ，求 的最小值；0,yx194xyxy变式 5：（1）若 且 ，求 的最小值；0,yx12yxxy（2）若 且 ，求 的最小值；Rba,ba变式 6：已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 ，使得 ，求n5672anma, 14anm的最小值；nm417变式 7：若正数 x，y 满足 x 3y5xy，则 3x4y 的最小值是（ ） ( )A. B. C5 D6245 285变式 8：设 若 的最小值为 （ ） 0,.ab13abab是 与 的 等 比 中 项 ， 则A B1 C4 D84变式 9：已知 ，且 ，则 的最小值为 0ab2ab13ab变式 10：已
6、知 ， ， ，求 的最小值.01x0ab21abyx变式 11：求 的最小值183(0)232xx变式 12：已知 ，求函数 的最小值(0,)22214()sincosf变式 13：设正实数 满足 的最小值为 ba, ba8,则变式 14：【2013 天津理】设 a + b = 2, b0, 则当 a = 时, 取得最小值.1|2|ab8变式 15：设 满足 ，则 的最小值为 0,1ab2ab1a变式 16：已知 ,abR且 21b，则 24ab的最小值是 .题型六：分离换元法求最值（了解）题目 1、求函数 的值域；)1(072xxy变式：求函数 的值域；)1(82xy题目 2、求函数 的最大
7、值；52xy变式：求函数 的最大值；941xy题型七：基本不等式的综合应用题目 1、已知 ，求 的最小值1logl22baba939题目 2、已知 ，求 的最小值；0,baab21变式 1：（2010 四川）如果 ，求关于 的表达式 的最小值；0baba, )(12ba变式 2：（2012 湖北武汉诊断）已知，当 时，函数 的图像恒过定点 ，若1,0a1)(logxya A点 在直线 上，求 的最小值；A0nymxnm24变式 3：【2017 天津】若 ，则 的最小值为 ,0abR41ab题目 3、已知 ， ，求 最小值；0,yx82xyy2变式 1：已知 ，满足 ，求 范围；0,ba3ba10变式 2：已知 ， ，求 最大值；（提示：通分或三角换元）0,yx3121yxx变式 3：已知 ， ，求 最大值；0,yx12xy题目 4、 （2013 年山东（理） ）设正实数 满足 ,则当 取得最大值时,zyx, 04322zyxzxy的最大值为（ ） （ ）zyx21A B C D0493变式：设 是正数，满足 ，求 的最小值；zyx, 032zyxxzy2题型八：利用基本不等式求参数范围题目 1、已知 ，且 恒成立，求正实数 的最小值；0,yx9)1(yaxa
