1、0函数与方程知识点总结1、函数零点的定义（1）对于函数 ，我们把方程 的实数根叫做函数 的零点。)(xfy0)(xf )(xfy（2）方程 有实根 函数 的图像与 x 轴有交点 函数 有零点。因此判断一个函数是0fy()f否有零点，有几个零点，就是判断方程 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程)(f，所得实数根就是 的零点)(xf ()fx（3）变号零点与不变号零点若函数 在零点 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 的变号零点。()f0 ()fx若函数 在零点 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零点。x若函数 在区间 上的图像是一条连续的曲线，则 是 在区间 内
2、有零点的充分不必要()f,ab 0)(bfa()fx,ab条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的曲线，并且有 ，那么，)(xfy,ba ()0fab函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。)(xfy,ab)(00)(xf0xx（2）函数 零点个数（或方程 实数根的个数）确定方法)(xf 代数法：函数 的零点 的根；)(xfy（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零)(xfy点。（3）二次函数零点个数确定有 2 个零点 有两个不等实根； 0)(xfy0)(xf有 1 个零点
3、有两个相等实根；无零点 无实根；对于二次函数在区间 上的零点个数，要结合图像进行确定.)(f)(f ,ab1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间 上连续不断且 的函数 ,通过不断地把函数 的零点,ab()fa()yfx()yfx所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;1（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 ,验证 ,给定精确度 ;求区间 的中点 ;计算 ;ab()0fb(,)abc()f()若 ,则 就是函数的零点 ;() 若 ,则令 (此时零点 );)0fc()0fac0,xa() 若 ,则令 (此时零点 );(c0,xb判断是否
4、达到精确度 ,即 ,则得到零点近似值为 (或 );否则重复至步.abb【经典例题】【例 1】函数 3()=2+xf在区间 (0,1)内的零点个数是 （ B ）A、0 B、1 C、2 D、3【解析】解法 1：因为 (0)=+21f， 3()=2+8f，即 (0)10，f (1) f(0)0.52 f(x )2 x3x 的零点所在的一个区间为( 1,0)【例 3】下列函数中能用二分法求零点的是 ( C )2【例 4】若函数 ( 且 )有两个零点，则实数 的取值范围是 .)(xfa01aa），（ 1【解析】 函数 = ( 且 )有两个零点， 方程 有两个不相等的实数根，即0x两个函数 与 的图像有两
5、个不同的交点，当 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不xy10合题意；当 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.1a【例 5】函数 ， 零点个数为 （ B 23,0()lnxf）A、3 B、2 C、1 D、0【例 6】若函数 32()fxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = 2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = 0.054那么方程 320x的一个近似根（精确到 0.1）为 （ C ）A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1
6、.5【例 7】如果二次函数 有两个不同的零点，则 的取值范围是 （ C 23yxmm）A、 B、 C、 D、1(,)41(,)21(,)4(,)2【 例8】方程 根的个数为 （ D 0lgx）A、无穷多 B、 C、 D、f(3) 10【例9】用二分法研究函数 3)(xf的零点时，第一次经计算 0)5.()ff， ，可得其中一个零点 30x ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( A )A、 （0，0.5） ， )25.0(f B、 （0，1） ， )25.(fC、 （0.5，1） ， 7 D、 （0，0.5） ， 10反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(2)提醒：函数的零点不是点，是方程 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数0)(xf的零点也就是函数 y f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标
