1、1函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有 3 大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质） ，进行理论分析。下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。要提醒的是，例题里有不少是函数连续性（一） （二） 中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一函数的连续 例 1.1（例 1.20（一） ，这个序号值的是函数连续性（一）中的例题
2、号，请对照） 设 满足 ，且 在 连续。证明： 在任意点 处连续。()fx()()fyfxy()fx0()fx分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“ 在任意点 处连续” ，那么我们就先固定一个点 ，用函数连续的定义来证()fx x明在 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就x用那一个。在本题中，提供了条件 ，也就是 ，你的脑()()fyfxy()()fyfy海里就要想到，如果设 ，那么就有 ；这个时候，你应该
3、立即yxx“闪过” ，要用题目给的第二个条件了： 在 连续！它意味着： 。()f00lim()(0xff证明的思路就此产生！证明：因为 ，取 ，则有 ，所以 。 ()()fxyfy()()ff()f（#）对于固定的 （任意的！） ，若取 ，有 x， （+）()()yfxf在（+）式两边取 的极限，那么0， （ C. ; D. .0,0,ab,0ab练习题 5 （1995 年考研题数二） 设 和 在 上有定义， 为连续函数，且()fxg(,)()fx，()0fx有间断点，则（ ）：gA 必定有间断点； B. 必定有间断点；)f 2()xB 必定有间断点； D. 必定有间断点。(x gf（请你举出例子来验证你的结论）练习题 6 （1998 年考研题数四）设函数 ，讨论 的间断点，结论为（ ）21()limnnxfx()fxA不存在间断点； B. 存在间断点 ； C. 存在间断点 ； D. 存在间断点01x
