初一数学特训班讲义.doc

1、新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识初一数学基础知识讲义主讲：邓芸欢迎使用新东方在线电子教材第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识也可以写成： |0a当 为 正 数当 为当 为 负 数说明：（）|a|0 即|a|是一个非负数；（）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例 1 （数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上位

2、置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由 a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例 2已知： ， ，且 ， 那么zx00x

3、yxzyxzy的值（ C ）A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号解：由题意，x、y、z 在数轴上的位置如图所示：所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3 （分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息， “数轴上表示这两数的点位于原点的两侧

4、”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为 x，乙数为 y由题意得： ， 30)()(zyxyx新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识201861421（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12例 4 （整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）xx208A1 个 B2 个 C 3 个 D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决

5、。将 x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，a所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为 D。 例 5 （非负性）已知|ab2| 与 |a1|互为相互数，试求下式的值1112207bab分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=| a1|=0 ，解得：a=1,b=2于是 1 207a2098120918432在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例 6 （距离问题）观察下列每对数在

6、数轴上的对应点间的距离 4 与 ，3 与 5， 与22， 与 3. 4并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_相等 .新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识1)(xx（2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为 分析：点 B 表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点 B 所在的位置。那么点 A 呢？因为 x 可以表示任意有理数，所以点 A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出 A 与 B 两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当 x0，距离为x+1综上，我们得

7、到 A 与 B 两点间的距离可以表示为 1x（3）结合数轴求得 的最小值为 5 ，取得最小值时 x 的取值范围为 -23x3x_2_.分析： 即 x 与 2 的差的绝对值，它可以表示数轴上 x 与 2 之间的距离。即 x 与-3 的差的绝对值，它也可以表示数轴上 x 与-3 之间的距离。)3(如图，x 在数轴上的位置有三种可能：图 1 图 2 图 3图 2 符合题意（4） 满足 的 的取值范围为 x-1 34xx分析： 同理 表示数轴上 x 与-1 之间的距离， 表示数轴上 x 与-4 之间的距14x离。本题即求，当 x 是什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与-4 之间的距离会大于3。

8、借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数 A 与数 B 的点之间的距离。这是BA一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3） 、 （4）这两道难题。 四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式”是用运算符

9、号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题例 1若多项式 的值与 x 无关，yxxm53785222求 的值.4分析：多项式的值与 x 无关，即含 x 的项系数均为零因为 832537852 222 yxmy所以 m=4将 m=4 代人， 4164422 m利用“整体思想”求代数式的值例 2x=-2 时，代数

10、式 的值为 8，求当 x=2 时，代数式635cxba的值。635cxba分析： 因为 835cx当 x=-2 时， 得到 ，62ba 86235cba所以 14235c当 x=2 时， =5x 0)14(35c新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识208712023a2087120)(23a例 3当代数式 的值为 7 时,求代数式 的值.532x 2932x分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得2x32x 6932x整体代人， 4932代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例 4 已知 ，

11、求 的值.012a2073a分析：解法一（整体代人）：由 得 12023a所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由 ，得 ，a12所以： 解法三（降次、消元）： （消元、 、减项）12a20871207)(223a例 5 （实际应用）A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资 200 元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第 n 年的实际收入（元）第一年：A 公司 10000； B 公

12、司 5000+5050=10050新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A 公司 10000+200(n-1） ； B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出 B 公司的年收入永远比 A 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错。例 6三个数 a、b 、c 的积为负数，和为正数，且 ，bcacbax则 的值是_ 。123x解：因为 abc0，所以 a、b、c 中只有一个是负数。不妨设 a0，c0则 ab0所以 x=-1+1+1-

13、1-1+1=0 将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为 1。同理，当 b0，c0 时，x=0 。另：观察代数式 ，交换 a、b、c 的位置，我们发现代acbca数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对 a、b、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：例 7如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB ， OC， OD， OE， OF，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，（1） “17”在射线 _上，“2008”在射线_上（2）若 n 为正整数，则射线 OA 上数字的排列规律可以用含 n 的代数式表

14、示为_分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，观察得出，这列数的后一项总比前一项多 6，归纳得到，这列数可以表示为 6n-5因为 17=36-1，所以 17 在射线 OE 上。因为 2008=3346+4=3356-2，所以 2008 在射线 OD 上例 8 将正奇数按下表排成 5 列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 ABDCEFO172839410 5116 12新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识 根据上面规律，2007 应在A125 行,3 列 B.

15、 125 行,2 列 C. 251 行,2 列 D. 251 行,5 列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数： 3，11，19，27， 规律为 8n-5因为 2007=2508+7=2518-1所以，2007 应该出现在第一列或第五列又因为第 251 行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以 2007 应该在第 251 行第 5 列例 9 （2006 年嘉兴市）定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，结果为3n5；当 n 为偶数时，结果为 （其中 k 是使 为奇数的正整数） ，并且运算重k2k2复进行例如，取 n26，则：若 n

16、449，则第 449 次“F 运算”的结果是_分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当 n 为偶数时，结果为（其中 k 是使 为奇数的正整数） ，要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。k2kn2449 奇数，经过“F”变为 1352；1352 是偶数，经过“F”变为 169，169 是奇数，经过“F”变为 512，512 是偶数，经过“F”变为 1，1 是奇数，经过“F”变为 8，8 是偶数，经过“F”变为 1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现 1、8 的交替循环。再看运算的次数是 449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到 8，偶数次运算得到 1

17、，所以，结果是 8。三、小结用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。26 13 44 11第一次F第二次F第三次F 新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。典型例题：二、典型例题例 1若关于 x 的一元一

18、次方程 =1 的解是 x=-1，则 k 的值是（ ）23xkA B1 C- D0271分析：本题考查基本概念“方程的解”因为 x=-1 是关于 x 的一元一次方程 =1 的解，23xk所以 ，解得 k=-133)1(2k1例 2若方程 3x-5=4 和方程 的解相同，则 a 的值为多少？0a分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数 x，所以可以解这个方程求得x 的值；第二个方程中有 a 与 x 两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得 a 与 x 的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得 x 代入第二个方程，第二个方程也就转

19、化为一元一次方程了。解：3x-5=4， 3x=9， x=3因为 3x-5=4 与方程 的解相同 031所以把 x=3 代人 中xa即 得 3-3a+3=0，-3a=-6，a=2031例 3.（方程与代数式联系）a、b、c、d 为实数，现规定一种新的运算 . bcadc（1）则 的值为 ；（2）当 时， = . 2185)(4xx分析：（1）即 a=1，b=2，c=-1，d=2，新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识因为 ，所以 =2-（-2 ）=4bcadc21（2）由 得：10-4 （1-x）=1885)1(4x所以 10-4+4x=18，解得 x=3例 4 （方程的思想）如图

20、，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 厘米的墨水，将瓶盖盖a好后倒置，墨水水面高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A B C Dbabahabha分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题解：设墨水瓶的底面积为 S，则左图中墨水的体积可以表示为 Sa设墨水瓶的容积为 V，则右图中墨水的体积可以表示为 V-Sb于是，Sa= V-Sb ，V= S(a+b)由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为 baSVa)(例 5 小杰到食堂买饭，看到 A、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在 A 窗口队伍的里面，过了 2 分钟，他发现 A

21、窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人。此时，若小李迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口后面重新排队，将比继续在 A 窗口排队提前 30 秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 分析：“B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人”相当于 B 窗口前的队伍每分钟减少 1 人，题中的等量关系为：小李在 A 窗口排队所需时间= 转移到 B 窗口排队所需时间+ 21解：设开始时，每队有 x 人在排队，2 分钟后，B 窗口排队的人数为： x-62+52=x-2根据题意，可列方程： 2164x去分母得 3x=24+2(x-2)+6去括号得 3x=24+2x-4+6移项得 3x-2x=26解得 x=26所以，开始时，有 26 人排队。 课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法： 思考： 是什么方程？bax不考虑瓶子的厚度.