1、最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为_ 。解：原式由此可知，当 时，有最小值 。二. 设参数法例 2. （中等数学奥林匹克训练题）已知实数 满足 。则的最大值为_ 。解：设 ，易知由 ，得从而，由此可知， 是关于 t 的方程 的两个实根。于是，有解得 。故 的最大值为 2。例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若 ，则可取得的最小值为
2、（ ）A. 3 B. C. D. 6解：设 ，则从而可知，当 时， 取得最小值 。故选（B）。三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛）实数 满足。则 z 的最大值是_ 。解：由 得 。代入 消去 y 并整理成以 为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 。即 ，整理得解得 。所以，z 的最大值是 。四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛） 是非负实数，并且满足。设 ，记 为 m 的最小值，y 为 m的最大值。则 _。解：由 得解得由 是非负实数，得从而，解得 。又 ，故于是，因此，五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）已知矩形 A 的
3、边长为 a 和 b，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k，试求 k 的最小值。解：设矩形 B 的边长为 x 和 y，由题设可得 。从而 x 和 y 可以看作是关于 t 的一元二次方程 的两个实数根，则因为 ，所以 ，解得所以 k 的最小值是四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知 为整数，且。若 ，则 的最大值为_。解：由 得 ，代入 得 。而由 和 可知 的整数。所以，当 时， 取得最大值，为 。七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数 的最小值是_。解：显然，若 ，则 。因而
4、，当 取最小值时，必然有。如图 1，作线段 AB=4， ，且 AC=1，BD=2。对于 AB 上的任一点O，令 OA=x，则。那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小。图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，。作 EF/AB 与 DB 的延长线交于 F。在 中，易知 ，所以， 。因此，函数 的最小值为 5。八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包 天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承包 天完成，需付 150000 元；由甲、丙两队承包 天完成，需付 160000 元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需 天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付 元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是 （元）；由乙队单独承包，费用是 （元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。
