初中数学二次函数知识点汇总.doc

1、11.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y y（2）函数 的图像与 的符号关系.2x当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay2 y4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中khxay2.ackbh422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ；2axykxy22hxa

2、y； .khxay2 cbxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开a口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点abcxcbxy4222 是 ，对称轴是直线 .），（ abc422ax（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，khxa

3、y2 hk对称轴是直线 .hx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分2线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；abx00y （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.0y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxay2当

4、时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：xc2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.0c0ccy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .

5、已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbay2c3（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).yhxcbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程cba2 1x2的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别02cxx式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴

6、相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方nxyl 02acbxyG程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; cbak2 l方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGl（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，x cbxay2 021， xBA由于 、 是方程 的两个根，故1202cbxax21, acbacbxxx

7、AB 442221212121二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 有实根 和cxy2 02cbxa1x存在时，根据二次三项式的分解因式 ，二次函数2x )(212 xacba可转化为两根式 。如果没有交点，则不能这样表示。cbay )(21xy4考点三、二次函数的最值 （10 分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时， 。abx2abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内

8、，21xa21x若在此范围内，则当 x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函数在ab2abcy42最 值范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时，21x 2x，当 时， ；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，cba最 大 1xcby12最 小则当 时， ，当 时， 。1xcbay2最 大 2xcbxa2最 小考点四、二次函数的性质 （614 分） 1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 cbxay是 常 数 ，a0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ）

9、；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；5（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最ab2小值， cy4最 小 值 （4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义： 表示开口方向：)0,(2 abax是 常 数 ， b、 a0 时，抛物线开口向上， ， ， 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函

10、数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“同左上加，异右下减” 三、二次函数 与 的比较2yaxk2yaxbc请将 利用配方的形式配成顶点式。请将 配成 。245 2yaxbc2yaxhk总结：从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2yaxhk2yaxbc的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ka向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 8前者，即 ，其中 224bacyax 242bacbhk，

11、四、二次函数 图象的画法2yxbc五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、2yaxbc2()yaxhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若y0c，0c， h， 102x与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy五、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当

12、 时， 有最2bxayxyx2bxay小值 4c2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当 时，0a 2bxa24bac，2bxa随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 yx2bxay2xy4c六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcbc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkahk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可

13、以用交点式表示二次函数解4bc析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系91. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大aa小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；ab 同号同左上加02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是

14、轴；ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧a,b 异号异右下减002y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；a,b 异号异右下减ba当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；002by当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧ab 同号同左上加ba总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b总结： 同左上加 异右下减 3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式