利用导数解决不等式恒成立中的参数问题--学案.doc

1、第 1 页 共 10 页利用导数解决不等式恒成立中的参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题 1】 （07 全国理）设函数 若对所有 都有 ，求 的取值范围()xfe0x()fxa解：令 ，则 ，()gxfaxxgaea（1）若 ，当 时， ，故 在 上为增函数，202xg0, 时， ，即 ()()f（2）若 ，方程 的正根为 ，x14ln此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数1(0,)()0g()gx 时， ，即 ，与题设 相矛盾xfa()fxa综上，满足条件的 的取值范围是 a,2说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习 1】 （10 课标理）设函数 ，当 时， ，求 的取值范围2()1xf

2、e0()0f解： 【例题 2】 （07 全国文）设函数 在 及 时取得极值32()8fxaxbc1x2（1）求 、 的值；（2）若对于任意的 ，都有 成立，求 的取值范围ab0,()fc解：（1） ，()6fxb函数 在 及 取得极值，则有 ， 120即 ，解得 ， 3024a3a4b（2）由（1）可知， ， 32()918fxxc2()6186(1)2fxxx当 时， ；当 时， ；当 时， (,x(,)0,3)0f当 时， 取得极大值 ，又 ， 5f c9fc则当 时， 的最大值为 0,3()f 9对于任意的 ，有 恒成立， ，解得 或 ，,2xc281因此 的取值范围为 c1(,)最值法

3、总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值【针对练习 2】 （07 重庆理）已知函数 在 处取得极值 ，其中44ln (0)fabxcx3c、 、 为常数ab（1）试确定 、 的值；（2）讨论函数 的单调区间；()f（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围0x2()fxc第 2 页 共 10 页解： 【针对练习 3】 （10 天津文）已知函数 ，其中 若在区间 上，32()1fxax()R0a1,2恒成立，求 的取值范围()0fxa解： 第 3 页 共 10 页【例题 3】 （08 湖南理）已知函数 22()ln1)xfx（1）求函数 的单调区间；()fx（2）若不等式 对任

4、意的 都成立（其中 是自然对数的底数） ，求 的最大值1naeNea解：（1）函数 的定义域是 ，()f(,)2 2l(1ln)1xxxx设 ()n(g则 ，令 ，则 lx()l()hxx2()1xhx当 时， ， 在 上为增函数，10()01,0当 时， ， 在 上为减函数 在 处取得极大值，xh0而 ， ，函数 在 上为减函数() )gx()gx,)于是当 时， ，当 时， ()xg当 时， 在 上为增函数100,ff1,0当 时， ， 在 上为减函数x)()故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 (f ,(0,)（2）不等式 等价于不等式 ，由 知，naeln()a1n设 ， ，则1

5、l()a1()l)Gxx,2222(ln()1ln()1Gxx由（1）知， ，即 022l0xx ， ，于是 在 上为减函数()0x(,()G,故函数 在 上的最小值为 a 的最大值为 11ln1ln小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：分离变量；构造函数（非变量一方） ；对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数） ；写出变量的取值范围【针对练习 4】 （10 全国 1 理）已知 ，若 ，求 的取值范()1lnfxx2()1xfax围解： 第 4 页 共 10 页【针对练习 5】若对所有的 都有 成立，求实数 的取值范围,)xelnxaa解：

6、 二、单参数放在区间上型：【例题 4】已知三次函数 图象上点 处的切线经过点 ，并且 在32()5fxacxd(1,8)(3,0)(xf处有极值3x（1）求 的解析式；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围)(f (0,)m0fm解：（1） ， ，1 1fac于是过点 处的切线为 ，,883(1)yx又切线经过点 ， ，(30)6ac 在 处有极值， ，)(xf()270f又 ，15acd由解得： ， ， ， 139d32()59fxx（2） ，由 得 ， 2()30()fxxx 13当 时， ， 单调递增， ；,ff()0f当 时， ， 单调递减， 1()3x()x()x当 时， 在 内

7、不恒成立，当且仅当 时， 在 内恒m0f,m(,3m()0fx(,)m成立， 的取值范围为 3【针对练习 6】 （07 陕西文）已知 在区间 上是增函数，在区间 ，cxbaxf2)( 0,1,(1,)上是减函数，又 1()2f（1）求 的解析式；（2）若在区间 上恒有 成立，求 的取值范围xf 0, ()m()fxm解： 第 5 页 共 10 页三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题 5】 （07 天津理）已知函数 ，其中 ， () (0)afxbxabR（1）讨论函数 的单调性；()fx（2）若对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围1,2a()1f,4解：（1） 2()fx

8、当 时，显然 这时 在 ， 上内是增函数0()0 )fx()fx,0)(,)当 时，令 ，解得 aa当 变化时， ， 的变化情况如下表：ff 在 ， 内是增函数，在 ， 内是减函数()fx,)a(),(,0)a(,)（2）法一：化归为最值由（2）知， 在 上的最大值为 与 的较大者，对于任意的 ，不等f1,41()4ff 1,2a式在 上恒成立，当且仅当 ，即 ，对 成立0(1)fx, 0(1)f394ba,从而得 ，满足条件的 的取值范围是 74bb7,4法二：变量分离 ， ，即 ()10fx()axmin10()x令 ， ，()g2ag 在 上递减， 最小值为 ，()x,14(x397()

9、424g从而得 ，满足条件的 的取值范围是 7bb7,或用 ，即 ，进一步分离变量得 ，2(0)axx2(10)2x 210()bx利用导数可以得到 在 时取得最小值 ，144从而得 ，满足条件的 的取值范围是 74bb(7,x(,)(,0)(,)(),af0 0 极大值 极小值 第 6 页 共 10 页法三：变更主元在 上恒成立，即 ， ，()10fx,410axb()10axb ， 在 递增，即 的最大值为 ()a1,2()2以下同上法说明：本题是在对于任意的 ， 在 上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往,fx1,先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立【例题 6】设函数 ，

10、，若对于任意的 ，不等式432()6ln (fxaba)R2,a在 上恒成立，求实数 的取值范围4()fx0,1解： 在 上恒成立，即 在 上恒成立(31lx(0,1x由条件 得 ，2,a2min36l2xba又 ， ，即 (01x 31nx32min(6l)xx设 ，32)lg则 323226468)(4x令 ， ，32)8x()9(4x当 ， ；当 ， ，(0,9()0,1)0 时， ，于是 ，1432()89x极 小 值 ()gx 在 递减， 的最小值为 ，32()6lngx,x(1)0 ，因此满足条件的 的取值范围是 0bb(,0【针对练习 7】设函数 ，其中 ， 若对于任意的 ，43

11、2() )fabxRabR2,a不等式 在 上恒成立，求 的取值范围()1f,解： 四、双参数中的范围均未知型：【例题 7】 （10 湖南理）已知函数 ，对任意的 ，恒有 2() (,)fxbcRxR()fxf（1）证明：当 时， ；0x（2）若对满足题设条件的任意 ， ，不等式 恒成立，求 的最小值2()fbMcM解：（1）易知 由题设，对任意的 ， ，即()2fbx第 7 页 共 10 页恒成立， ，从而 2()0xbc2()4()0bcb214bc于是 ，且 ，因此 1214b| 故当 时，有 ，即当 时， x()()(1)xcfcxx2()fxc（2）由（1）知， |当 时，有 c|b

12、222fbbcbM令 ，则 ， 而函数 的值域是t1t1ct1()()gtt3(,)2因此，当 时， 的取值集合为 c|b3,)2当 时，由（1）知， ， 此时 或 ， | c()8fcb020cb从而 恒成立综上所述， 的最小值为 23()()fcM3【针对练习 8】若 图象上斜率为 3 的两切线间的距离为 ，设 2xa21523()xgxfa（1）若函数 在 处有极值，求 的解析式；)(g1()gx（2）若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数,24()bm,1的取值范围m解： 五、双参数中的线性规划型：【例题 8】 （12 浙江理）已知 ， ，函数 0abR3()42fx

13、abx（1）证明：当 时，函数 的最大值为 ； ；1x()f|()|2|0fab（2）若 对 恒成立，求 的取值范围()f,解：（1） 226xa当 时， ，在 上恒成立，0b()10fb1x 在 上递增，此时 的最大值为：()fx,()f；143a|第 8 页 共 10 页当 时， ，0b2()1()()6bfxabxa此时 在 上递减，在 上递增， 在 上的最大值为：f,6,(fx0,1max 2()(0),1max(),3,bafb|ab综上所述：函数 在 上的最大值为 |2| ，当 时，012b3()|()4ffxxa3341)axa当 时，3()|2|()2()fbfba3(12)x

14、设 ， ，列表可得)gx23()6()gx，当 时， ，min43()091210x )|2|(2)fxabx（2）由知：函数 在 上的最大值为 ， f1|ab|ab由知： ，于是 对 恒成立的充要条件为：(|)a()fx,或 ，在坐标系 中，031ab0O不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段 作一组平行线 ，BC ()abtR得 ， 的取值范围为 ab1,3【针对练习 9】已知函数 21()ln 0fxxx（1）若 ，求 的单调区间；ab（2）若 的两个极值点 ， 恒满足 ，求 的取值范围()f1212ab解： Oa12ba23ACB第 9 页 共 10 页六、双参数

15、中的绝对值存在型：【例题 9】 （06 湖北理）设 是函数 的一个极值点3x23() ()xfxabeR（1）求 与 的关系式（用 表示 ） ，并求 的单调区间；abab(f（2）设 ， 若存在 ， 使得 成立，求 的025()4xge120,412|()|fga取值范围解：（1） ，由 ，得 ，23()xfx()f233(0abe即得 ，则 3ba2()x xfae 令 ，得 或 ，由于 是极值点， ，即 01x1124a当 时， ，则在区间 上， ， 为减函数；42(,)()0f(f在区间 上， ， 为增函数；(,)()0ffx在区间 上， ， 为减函数a当 时， ，则在区间 上， ， 为

16、减函数；213x(,1)a()fx()f在区间 上， ， 为增函数；(,)()f)f在区间 上， ， 为减函数0x（2）由（1）知，当 时， ， 在区间 上的单调递增，在区间 上单调递a(0,3)(3,4)减，那么 在区间 上的值域是 ，()fx,4min4ff而 ， ， ，302e1()2)fae6a那么 在区间 上的值域是 f, 3,6又 在区间 上是增函数，且它在区间 上的值域是5()4xgxa0,0,，由于 ，22,e22251()()044aa只须仅须 且 ，解得 故 的取值范围是 ()6133(,)【针对练习 10】 （10 辽宁理）已知函数 2()lnfxx（1）讨论函数 的单调性；xf（2）设 ，如果对任意 ， ， ，求 的取值范围a120,1212|()4|ffxa解： 第 10 页 共 10 页总结：关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决