反常积分的几种计算方法.doc

1、目 录摘 要 1关键词 1Abstract 1Keywords10 前 言 11 反常积分的定义 11.1 无穷积分的定义 11.2 瑕积分的定义 . 22 反常积分的计算方法 32.1 利用 NewtonLeibniz 公式计算反常积分 32.2 利用变量替换法计算反常积分 32.3 利用分部积分法计算反常积分 52.4 利用分段积分自我消去法计算反常积分 72.5 利用方程法计算反常积分 72.6 利用级数法计算反常积分 92.7 利用待定系数法计算反常积分10结束语 11参考文献.11反常积分的几种计算方法摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的

2、灵活使用.关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法Several calculation methods of abnormal integralAbstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitu

3、tion; subsection integral; Series method; the method of undetermined coefficient 0 前言反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：NewtonLeibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透，这样可以简便计算。1 反常积分的定义1.1 无穷积分的定

4、义定义 1 设函数 定义在无穷区间 上,且在任何有限区间 上可积,如果存faua在极限, uaJdxf)(lim)1(则称此极限 为函数 在 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作Jf, axfJ)( )(并称 收敛.如果极限 不存在,为方便起见,亦称 发散.adxf)()1( adxf)(2类似地,可定义 在 上的无穷积分：fb,. budxfdxf)(lim)( )2(对于 在 上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：f. xfxfxf aa )()()( )3(1.2 瑕积分的定义定义 2 设函数 定义在区间 上,在点 的任一右领域上无界,但在任何内闭区fba间 上有界且可积.如果存

5、在极限bau, buaJdxf)(lim)4(则称此极限为无界函数 在 上的反常积分,记作f, baxfJ)( )(并称反常积分 收敛.如果极限 不存在,这时也说反常积分 发散.badxf)(4badxf)(在定义中,被积函数 在点 近旁是无界的,这时点 称为 的瑕点,而无界函数反f af常积分 又称为瑕积分.baxf)(类似地,可定义瑕点为 时的瑕积分：b. uabadxfdxf)(lim)( )5(其中 在 有定义,在点 的任一左领域上无界,但在任何 上可积.fba bau,若 的瑕点 ,则定义瑕积分cdxfxfdxfbccaba)()()(= . vucflimli )6(其中 在 上有

6、定义,在点 的任一领域上无界,但在任何 和fbca,cau,上都可积.当且仅当 式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收bv,)6(敛的.又若 两点都是 的瑕点,而 在任何 上可积,这时定义瑕积分a,ffbavu,3dxfxfdxfbccaba)()()(= , vcbuflimli )7(其中 为 上任一实数.同样地,当且仅当 式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕cba)7(积分才是收敛的.2 反常积分的计算方法在计算反常积分时有三大基本方法：NewtonLeibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法.设 是反常积分, 为唯一的奇点( 为有限数,或 ),计算 ：dxfba)(bbdxf

7、ba)(2.1 利用 NewtonLeibniz 公式计算反常积分若 在 连续,且 为 的原函数,则)(f)(xFf. )(0(|0aFbdfaba )8(例 1 计算 的值.bapxd)(解： 在 上连续,从而在任何 上可积, 为其瑕点，故pf)(1babau,axbupabapxdxd)(lim)( .1),ln()l(,1.,)ln(,1)( 1paubpaxaxd pbubbup .1,)(lim)( 1pxdxdpbupabap2.2 利用变量替换法计算反常积分若 在 上单调,有连续的导数 , ( 为有限数或)(t)(t ba)0(,无穷大), 则. (9)dttfdxfba )()

8、(4例 2 计算 的值.baxd)(2解：令 则 ,22sincox cosin2sicoba 2222 sin)(i)1(ss ababa 222 cocscsinsicbxb. 24oi)()( 2020 daxadba例 3 证明等式 ,其中 (假设二积分有意义).dtbtff020 41,a分析:比较该等式的两边,我们必须使得,abtxa42因 ,此即要求 ,亦即0,xbatbx2.2txba因此我们选取的变换如下：证明：令 ,txba此时 成立,因此可得42，)4(212abtax.dttd2于是 ,dtabtfadxbaf 4)(21)( 200 在上式的右边的第一个积分里,令 ,

9、ut 0 022220 4)()4(21)( dtabtutfduabbfadxbaf再将 改写成 ,二积分合并,得ut5.dtabtfadxbf020 )4(1)(因此该式得证.2.3 利用分部积分法计算反常积分设 在 上有连续的导数,则)(),(xvuba. (10) baaba dxuvxvud)()(0例 4 计算 的值.dx10ln解： 102l)1(0dxx41例 5 计算积分 .dxn20cosl解：(困难在于被积函数中有对数符号 ,用分部积分法消去 )ln“ln“原式 xn2sicl210dxn2020cos)i(i1olsi dxn20csi1(我们看到,这里如果被积函数没有

10、分母的 ,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因xcos此,我们希望设法应用公式 nkttn12cssi)2(将被积函数拆开).因为,xnxnxn)cos(2cosi2si ,ddd2000 11co1 第一个积分为 0，第二个积分令 ,tx26dxndxn 2020 cos)1(1cosi1 tn201i)()(dtknnk20112cos)(.4)(1例 6 计算 .nxd)2(2解： nndx1)( 22,nxtt21 nItd2120分部积分可建立 的递推公式: nI 0122021nnnn tttdI,I即 .nnII211,0td.2!)(3214523 nInIn在计算 时我们也

11、可以利用变量替换法进行求解,令 ,tan,再直接引用 公式 .dtdI nnn20202cos1Wls2!)(3利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.除了上述的三种基本方法外，根据具体情况，经常用的还有下列几种方法：2.4 利用分段积分自我消去法计算反常积分在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某些区7间相抵消或者合并.例 7 计算 的值.dx021ln解： dx120lnl= )ln(212102xx= )(1ln1l(202dxdx)(lnl(012102txxt = n0dt

12、=0通过上述计算我们可以发现这种方法可以省略很多计算,关键在于对积分区间的分段和变量替换要找到最合适的,否则适得其反.2.5 利用方程法计算反常积分使用方程法计算反常积分是分为两步：第一步：通过变量替换,将原积分进行变形;第二步：将原积分与变形后的积分相加,通过计算相加后的积分从而求出原积分 .例 8 计算积分 .20sinlxdI解： 420 2silntIt= 4cot= )coslnsil2l(40400 tddd= 2i(liln(ln4040 tt)sinlsil(2l 4240 udtdtu= 0inllnt= I48通过解方程得： .32lnI例 9 计算积分 .dx041解：

13、xxI02042)1(02dxttt021Jdx041则 dxI04212042dx021)1(02xx)()(02dtxt12dt002arcn.92.6 利用级数法计算反常积分在运用级数法求反常积分时,关键在于积分区间进行分段,使所求的反常积分可以表示成级数的求和运算,从而简化运算.例 10 证明 . ndxnl121lim1证明: (1) 当 时, ,由于 积分收敛,故2xx)(dx1)(收敛.d1(2) dxxn11limdxdxdxdx nn 132211 n132211dxnn1.l21因此： . ndxnl1lim1 2.7 利用待定系数法计算反常积分在使用待定系数法时通常先将有理分式化为部分分式,再通过待定系数求解,在使用这种方法时通常结合多种方法求解.例 11 计算积分 .1)()(nxdIn解：(拆为部分分式) 设( 为待定系数).nxAkxxAnx 1)()10 n,10将 同乘等式两边.然后 ,得