平面向量的方法技巧及易错题剖析.doc

1、1平面向量的方法技巧及易错题剖析1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1 ）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定；（2 ）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 ，而 是两个向abab量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3 ）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 0，且 =0，不能推出ab= 。因为其中 cos有可能为 0；b0（4 ）已知实数 a、b、c (b0)，则 ab=bc a=c。但是 = abcca；如右图： = | | |cos = | |

2、OA|， c = | |c|cos = | |OA| = ，但 ；babc(5)在实数中，有 ( ) = ( )，但是( ) ( )，显然，这是因为左端是与 c 共线的abcab向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 c 不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1 ）结合律不成立： ；abcc（2 ）消去律不成立 不能得到 ；b（3 ） =0 不能得到 = 或 = 。aba03 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的

3、主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式 ，沟通了向量与实数间的转化关系；2a一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；

4、向量 在a精编习题2方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的 随分点b P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。（一）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。例：化简下列各式： CAB； DACB； O； MPNQ。结果为零向量的序号为_ 。方法二：强化运用向量加法法则例：已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A、C） ，则 P等于（ ）A. 1,0,ADBB. 20,BCA，C. ,D. ,答

5、案：A方法三：数形结合思想例：已知向量 1OP、 2、 3满足条件 0OP321，且 |OP| 321=1，试判断321P的形状。方法四：取特例例：ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， CBAm，则实数m=_。答案：1方法五：应用 2a|解题2|a是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 |b3a|等于（ ）A. 7B. 10C. 1D. 4方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例 1：已知向量 、b 满足 6|a， 4|b

6、，且 a 与 b 的夹角为 60，求 |ba|和 |3。方法七：三角形形状的判断方法由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断已知平面上有互异的四点 A、B、C、D，若 ACBD2CB，则ABC 的形状是A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形（二）易错题剖析【易错题 1】若向量 a、b 满足关系式 |ba|，则下列结论中正确的是（ ）A. 以 、 为邻边的四边形是矩形B. a、 中至少有一个零向量或 C. 、 中至少有一个是零向量D. 、 均为零向量答案：B解题思路：（1）当 a、 b均为非零向量时，由向量加法和

7、向量减法的平行四边形法则可知， ba与3ba分别是以 a、 b为邻边的平行四边形的两条对角线。 |ba|表明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以 、 为邻边的四边形为矩形时， ；（2 ）当 、 中有零向量时，条件显然满足。综上所述，故选 B。错因分析：误区：错选 A。思考不严密，只注意到了向量 a、 b均不为零向量的情形，事实上，当 a、 b中有零向量时显然也满足条件。由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。【易错题 2】 “两个向量共线 ”是这两个向量方向相反的（ ）A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：B

8、。解题思路：两个向量 a与 b共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反 这两个向量共线；两个向量共线不能得到这两个向量反向。故选 B。错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选 D。造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。【易错题 3】设点 A（ 1，2） ，B（ 1n，3） ，C（ 2， 1n） ，D（ 2， 1n） 。若向量 AB与 C共线且同向，则 n的值为（ ）A. 2 B. C. D. 1答案：A解题

9、思路：由已知条件得 1,n， n,4，由 AB与 C共线得 04n2， 2。当n时， B=（2 ，1） ， CD=（4，2 ） ，则有 2C，满足 与 同向，当 时，,， ,，有 B，此时 与 D反向，不符合题意。因此，符合条件的只有 。故选 A。错因分析：误区：由已知可得 1,nA， n,4，因为 与 同向且共线，所以4n2=0， 2，因此错选 C。出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。向量共线的充要条件中 的正负决定两个向量是同向还是反向， 0，同向； 0，反向。【易错题 4】已知 8|B| ， 5| ，则 |BC| 的取

10、值范围是（ ）A. 8,3B. （3，8 ） C. 13,D. （3 ，13 ）答案：C解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出 8|A， 5|， ABC。（1 ）当ABC 存在，即 A、B、C 三点不共线时， ；（2 ）当 与 同向共线时， 3|；当 AC与 反向共线时， 1|。 13,|B，故选 C。错因分析：误区：错选 D。错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出 A、B、C 三点不能共线，因此它们可以共线。当 A、B 、C 共线时， ABC 不存在。题目中两向量 a、b 是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。【易错题 5】已知 3,1， ,2，设 a与 b的夹角为

11、，要使 为锐角，求 的取值范围。解题思路：由 为锐角，得 cos0，且 1cs， cos|a恒大于 0，4 0ba，即 0321。解得若 平行于 ，则 。即 6，但若 a平行于 b，则 0或 ，与 为锐角相矛盾，所以 6。综上，632且。失分警示：误区： 为锐角， 0cos。由 cos|ba|知，只需 ba，即 0321，故 32。本题误以为两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是 ba，事实上，两向量的夹角,0，当 0时，有 0，对于非零向量 a 与 b 仍有 0，因此 0ba是两非零向量a 与 b 的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论：两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的充

12、要条件是且 不平行于 b。【易错题 6】已知点 A（3， 4）与点 B（ 1，2） ，点 P 在直线 AB 上，且 |PB2|A，求点 P 的坐标。解题思路：设点 P 的坐标为（ x，y） ，由于 |B2|，所以，当点 P 为有向线段 的内分点时， 2，此时有 .0214y,3)(3x点 P 的坐标为（ 31，0） 。当点 P 为有向线段 AB的外分点时， 2，此时有.8214y,53x点 P 的坐标为（ 5，8） 。综上所述，点 P 的坐标为（ 3，0 ）或（ ，8） 。失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点 P 可能是 AB的内分点，也可能是 AB的外分点，因此本题必须分类讨论。【易错题

13、7】ABC 中，已知 ACB， 0， 0C，判断ABC 的形状。解题思路： cos| 。cos|cs|CAB ， Ccos| 。 ,0,0。 cos， ， ， 、B 、C 均为锐角。ABC 为锐角三角形。失分警示：误区： A， 0cs|A|。B 为钝角，ABC 为钝角三角形。上述错误在于将 BC与 的夹角看成是 ABC 的内角 B，向量 C与 A的夹角应为 B。【易错题 8】设二次函数 )ba(cx2)ba(y，其中， a、 b、 c是ABC 的三边，且 ab，cb，若二次函数与 x轴有交点，试确定B 的范围。解题思路：由题设 0 ，即 0ac2os9。5又 cb,a， 60B。 由知， 9。

14、失分警示：误区：由题意得 0ba4c22 9ac2cos。此解法忽视了题设中所给条件 b， ，事实上， 是三角形的最大边。B 为三角形的最大角，不小于 60。解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。【易错题 9】已知在四边形 ABCD 中， aAB， bC， cD， dA，且 adcba，试确定四边形 ABCD 的形状。解题思路：由已知易得 0dcba，则（ ）= ， 22dcba，即 d22。又因为 ， ， 同理可得 。 由可得 2ca，即 |ca|， 2db即 |， |DC|AB， |B|，四边形 ABCD为平行四边形，且 ， ，又 bac， 0， ba。综上所述，四边

15、形 ABCD 为矩形。失分警示：误区：由已知可得 0，又 dc， .cda,b )bd(c)(22， 2ca，即 |a|。同理 .b, )ac(d)(22，2，即 |。四边形 ABCD 为平行四边形， c， ，又 ， 0a， 0)(，即 ， a。综上，四边形为矩形。上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材，抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。【模拟试题】一. 选择题：1. 下列各量中不是向量的是（ ）A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度2. 下列说法中错误的是（ ）A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长

16、度是 0 C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意3. 设 O 是正 ABC的中心，则向量 AOBC， ，是（ ）A. 有相同起点的向量 B. 平行向量 C. 模相等的向量 D. 相等向量4. 命题“若 abcac/， ， 则 ”（ ）A. 总成立 B. 当 0时成立 C. 当 b0时成立 D. 当 c0时成立5. 已知正方形 ABCD 的边长为 1， ABCa， ， 则 |等于（ ）A. 0 B. 2 C. D. 26. 在平行四边形 ABCD 中， CD等于（ ）A. BCB. C. D. 7. 下列等式中一定能成立的是（ ）A. AB. AB C. ABCD. ABC8. 在

17、平行四边形 ABCD 中，若 |C，则四边形 ABCD 必是（ ）A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定6二. 填空题：9. 已知向量 ab、满足 ab，且 |1，则 |ab_10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不充要必条件）（1） a是 /的_（2 ） |/a是 的_（3） |ba是 的 _11. 如图，四边形 ABCD 为正方形， CE为等腰直角三角形。 D CA B E（1）图中与 B共线的向量有 _（2）图中与 A相等的向量有_（3）图中与 模相等的向量有 _（4）图中 C与 D相等吗？_（5）图中 A与 相等

18、吗？_12. C中， aCb， ， 则 B等于_三. 解答题：13. 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，设点集 MABCD， ， ， ，求集合TPQMPQ| 、 ， 且 、 不 重 合。 （用列举法表示） A DB C14. 化简 OPQSMP。15. 有一两岸平行的河流，水流速度为 1，小船的速度为 2，为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？【试题答案】1. D提示：密度只有大小没有方向。2. A 3. C4. C提示：由于零向量与任何向量都平行，所以当两非零向量 ac、不平行而 b0时，有abc/，但这时命题不成立。5. C提示： |aABC276. A提示：

19、DCBABC()0或者根据平行四边形 ABCD 中， ADCB， 而7. D8. B提示： |CABDC，|即平行四边形 ABCD 的对角线相等，故平行四边形 ABCD 为矩形。9. 1提示： abaab， ，01|10. （1 ）充分不必要条件提示： ， 则 与 方 向 相 同 ， /若 abab/|， 不 一 定 成 立 ， 且 与 方 向 也 不 一 定 相 反 。（2）既不充分也不必要条件提示：若 |ab， 则 与 的 长 度 相 等 ， 但 方 向 不 一 定 相 同 。ab ab/ /|不 一 定 成 立 ， 反 之 ， 若 成 立 ， 不 一 定 成 立 。（3）必要不充分条件提

20、示：若 | |ab ab， 不 一 定 成 立 ， 但 若 ， 一 定 有 。11. （1 ） CDBE、 （2）（3） A、 、 、（4）相等（5）不相等12. ()ab提示：根据三角形法则知 BCAB， 而ABab()()13. 解：以矩形 ABCD 的四个顶点中的任一点为起点，其余三点中的一点为终点的向量共 4312个，但这 12 个向量中不是各不相等，将相等的向量看作一个向量把它们一一列举出来：CDADCDB、 、 、 、 、 、 、 。 BA， ， ， ， ， ， ，14. 解：原式OPQSMPOQ0（方法较多，同学们可以多找几种）15. 解：如图，在平行四边形 ABCD 中， 表示水流速度， A表示小船行驶速度， AC表示小船实际航行速度，则 |AB1， |D2，若使小船所走路程最短，需 C与 B垂直。在 RtC中， CA1， ，即 | B45，故 9045138所以，当小船行驶方向与水流方向成 135的角时，小船从一岸到另一岸所走路程最短。 D CA B