导数的应用.doc

1、 - 1 -2导数的应用 1【考点导读】1通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。2结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。【基本知识】【基础练习】1若函数 ()fxmn是 R上的单调函数，则 ,mn应满足的条件是 0,mnR 。 2函数 5123xy在0，3上的最大值、最小值分别是 5，15 。3用导数确定函数 ()sin(0,2)f的单调减区间是 3,2。4函数 1()si,2fxx的最大值是 ，最小值是 0。5函数 e的单调递

2、增区间是 (-,-2)与(0,+ ) 。【范例导析】例 1 32()fx在区间 1,上的最大值是 2 。解：当1x0 时， ()fx0，当 0x1 时， ()fx0，所以当 x0 时， f（x）取得最大值为 2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为 0 的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为 0 的点未必都是极值点，如：函数 3()fx。例 2 求下列函数单调区间：（1） 521)(3xxfy （2） xy12（3） k2)0( （4） ln2- 2 -解：（1） 23xy )1(3x )32,(x),1(时0y)1,32(x0y )32,(， ),( ),(（2） 2

3、),(， ,0（3） 21xky ),(k),( 0y， ),0(,(kx 0 ),(k， ),( )0,(k， ),(k（4） xy142定义域为 , 21,0x y ),21(x0 点评：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3设函数f(x)= 322(1),1.xaa其 中 （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解：由已知得 ()6()f，令 ()0fx，解得 120,1xa。（）当 1a时， 2x， f在 ,上单调递增；当 时， ()1fa， ()xf随 的变化情况如下表：x,00 ,1)a1a(,)()f+ 0 0x极大值 极小值从上表可知

4、，函数 ()fx在 ,)上单调递增；在 (,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。（）由（）知，当 1a时，函数 ()fx没有极值；- 3 -当 1a时，函数 ()fx在 0处取得极大值，在 1xa处取得极小值 31()a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1关于函数 762)(23xxf，下列说法不正确的是 （4） 。（1）在区间（ ，0）内， )(f为增函数 （2）在区间（0，2）内， x为减函数（3）在区间（2， ）内， )(f为增函数 （4）在区间（ ，0） ,2内， )(xf为增函数2对任意 x，有 3

5、4)(xf， (1)f，则此函数为 2)(4xf 3函数 y=2x3-3x2-12x+5 在0,3上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。4下列函数中， 0x是极值点的函数是 （2） 。（1） 3y （2） 2cosyx （3） tanyx （4）x5下列说法正确的是 （4） 。 （1）函数的极大值就是函数的最大值 （2）函数的极小值就是函数的最小值（3）函数的最值一定是极值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值6函数 32()5fx的单调减区间是 0，2 。7求满足条件的 a的范围： （1）使 ysin为 R上增函数；（2）使 x3为 上的增函数； （3）使 5)(2af 为 上的增函

6、数。解：（1） xycos 由题意可知： 0y对 xR都成立 1a又当 时 in也符合条件 ),1a- 4 -（2）同上 ),0a （3）同上 31 8已知函数 cbxxf44ln)(x0)在 x = 1 处取得极值 c3，其中,abc为常数。（1）试确定 ,的值；（2）讨论函数 f(x)的单调区间。解：（I）由题意知 (1)3fc，因此 3bc，从而 3b又对 ()fx求导得 41ln4 xaxx(4ln)ax由题意 0，因此 0，解得 2（II）由（I）知 3()8lfxx（ ） ，令 ()0fx，解得 1x当 1x时， ，此时 ()f为减函数；当 1时， ()0f，此时()f为增函数因此

7、 x的单调递减区间为 (01)， ，而 ()fx的单调递增区间为 ()， - 5 -3导数的应用 B【考点导读】1深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。【基础练习】1若 )(xf是在 l,内的可导的偶函数，且 )(xf不恒为零，则关于 )(xf下列说法正确的是（4） 。（1）必定是 l,内的偶函数 （2）必定是 l,内的奇函数（3）必定是 内的非奇非偶函数 （4）可能是奇函数，也可能是偶函数 2 ()fx是 f的导函数， ()fx的图象

8、如右图所示，则 ()fx的图象只可能是（4） 。（1） （2） （3） （4）3若 tR，曲线 3yx与直线 yxt在 0,1上的不同交点的个数有至多 1 个。 4把长为 60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 15cm，宽为5。【范例导析】- 6 -例 1函数 cbxaxf23)(，过曲线 )(xfy上的点 )1(,fP的切线方程为1y（1）若 f在 时有极值，求 f (x)的表达式；（2）在（1）的条件下，求 )(fy在 1,3上最大值；（3）若函数 )(xf在区间 1,2上单调递增，求 b 的取值范围解：（1） 13:)1(,)( )(2():,)( 223 xyfPxfy

9、bacbayff fca的 切 线 方 程 为上而 过 即 的 切 线 方 程 为上 点过 求 导 数 得由)(0223cba即故 542)( 5,4,231)(4)(,)(xxf cbaff相 联 立 解 得由 故时 有 极 值在 （2） )2(33 xxx ),2 )2,(31,32()(f+ 0 0 +极大 极小15)(4)()(223ff极 大 5141)(3,3在xf上最大值为 13 （3） ,在 区 间xfy上单调递增又 02)(2 baba知由 bxxf2)(依题意 1,)( 2在即上 恒 有在 xff 上恒成立.在 63)1()(16 bxfbx小时在 0,2f小时 在 .12

10、)(, bxf 则时 小综合上述讨论可知，所求参数 b 取值范围是：b0。 点评：本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例 2请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析：本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设- 7 -1O的长度会比较简便。 解：设 ()xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(8（单位：m） 。于是底面正六边形的面积为（单位：m 2）：22 233(1)6()(8)4xxxA

11、。帐篷的体积为（单位：m 3）：2 31()(8)()(162)2Vxxx求导数，得 23()()x；令 ()0Vx解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。当 1x2 时， ()x,V(x)为增函数；当 2x4 时， ()0Vx,V(x)为减函数。所以当 x=2 时,V(x)最大。答：当 OO1为 2m 时，帐篷的体积最大。点评：本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1设 ()fx是函数 ()fx的导函数，将 ()yfx和 ()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确

12、的是 图 4 。2已知二次函数 2()fxabc的导数为 ()fx， 0f，对于任意实数x都有 ()0f，则 1()f的最小值为 3 。yxOyxOyxOyxO图1图2图3图4- 8 -3若 02x，则下列命题正确的是 （3） .（1） sin（2） 2sinx（3） 3sinx(4)x4函数 ()ln(0)fx的单调递增区间是 1,e5已知函数 32fbcxd的图象过点 P（0，2） ，且在点M（1， f（1） ）处的切线方程为 76y（）求函数 y=f(x)的解析式； （）求函数 y=f(x)的单调区间解：（）由 f(x)的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以 ,)(23cxbxf

13、.3)(2cbxxf由在 M(-1,f(-1)处的切线方程是 76y， 知.1,)(,0716f即32623.0,ccbb即解 得故所求的解析式是 .2)(3xxf（） 22()36.60,fx令210.令解得 .1,1 当 ;)(,f时或当 .x时故 )2,()在xf内是增函数，在 )2,(内是减函数，在 ),21(内是增函数点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力6如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短半轴长为 r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底 AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，记 CDx，梯形面积为 S（I）求面

14、积 S以 x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积 的最大值解：（I）依题意，以 AB的中点 O为原点建立直角坐标系Oxy（如图） ，则点 C的横坐标为 x点 C的纵坐标 y满足方程21(0)4xyr，4rCDAB2CDABOxy- 9 -解得 2(0)yrxr所以 21)SA2(xrx，其定义域为 0xr（II）记 2()4)()fr， ， 则 2()8)(fxrx令 0fx，得 1因为当 02rx时， 0；当 时，()，所以 fx在 (,)2r上是单调递增函数，在 (,)r上是单调递减函数，所以 1f是 f的最大值因此，当 2xr时， S也取得最大值，最大值为 213fr即梯形面

15、积 的最大值为 23r7设函数 2()1(0)fxtxttR， （）求 的最小值 )h；（）若 ()2htm对 (02t， 恒成立，求实数 m的取值范围解：（） 3)1(0)fxtxtR， ，当 xt时， (取最小值 3)f，即 3(1htt（）令 )2ghtmt，由 2(30t得 1， （不合题意，舍去） 当 变化时 ()t， t的变化情况如下表： (0)， 1(2)，()gt0- 10 -()gt递增 极大值 1m递减()gt在 02， 内有最大值 1hm在 ()， 内恒成立等价于 ()0gt在 (2)， 内恒成立，即等价于 1，所以 的取值范围为 1点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力8设函数 2()ln)fxax,若当 时， ()fx取得极值，求 a的值，并讨论()f的单调性.解：12xxa，依题意有 (1)0f，故 32a从而 3()()322xf f的定义域为 令 ，当 312x时， ()0fx；当 1x时， ()0fx；当 12时，()0f从而， fx分别在区间 312令 单调增加，在区间 12令单调减少